Чему равен показатель преломления n стекла, если при наблюдении стеклянного капилляра с большого расстояния сбоку

Морозный_Король

52

Для начала, важно отметить, что показатель преломления \( n \) является характеристикой оптического материала, определяющей, насколько сильно свет будет замедлен при переходе из одной среды в другую.

Для случая сигнала, проходящего из воздуха в стекло, показатель преломления \( n \) определяется по формуле Снеллиуса:

\[ n = \frac{{\sin \theta_1}}{{\sin \theta_2}} \]

где \( \theta_1 \) - угол падения сигнала на поверхность стекла, а \( \theta_2 \) - угол преломления сигнала внутри стекла.

Возвращаясь к задаче, в которой имеется стеклянный капилляр радиусом \( r \), и мы наблюдаем капилляр сбоку, то оцениваемый нами радиус будет зависеть от показателя преломления \( n \). Давайте рассмотрим это более подробно.

Когда свет проходит через капилляр, он изменяет свое направление из-за изменения показателя преломления между воздухом и стеклом. Сне́лли показал, что свет, попадающий под углом к поверхности, отклоняется на угол, зависящий от показателей преломления и угла падения.

Вернемся к сбоку наблюдаемому капилляру. Если капилляр полностью заполнен жидкостью (скажем, водой), то мы увидим, что он кажется безразмерным - его радиус будет казаться бесконечно большим.

Однако, если капилляр полностью заполнен воздухом, то свет, проходящий через капилляр, будет менять направление. Изображение внутри капилляра будет показываться в смещенном положении. Именно этот эффект мы и наблюдаем.

Теперь, чтобы определить показатель преломления \( n \) стекла, мы можем воспользоваться достаточно простым математическим соотношением. Рассмотрим треугольник, образованный внутри капилляра, радиусом \( r_1 \), радиусом основания капилляра (\( r \)) и линией связывающей центры этих окружностей, как показано на рисунке.

\[
\begin{align*}
\text{{Треугольник}} &\, \text{{ограничен:}} \\
\text{{1.}} &\, \text{{Лучами света падающими на поверхность воздуха-стекло под углом (1)}} \\
\text{{2.}} &\, \text{{Лучами света, идущими по радиусу внутри стекла (2)}} \\
\text{{3.}} &\, \text{{Лучами света выходящими из стекла в воздух (3)}}
\end{align*}
\]

Для этого треугольника мы можем применить теорему Снеллиуса, примененную к каждому из углов.

\[
\begin{align*}
\text{{(1)}} &\, n \cdot \sin \theta_1 = \sin \theta_2 \\
\text{{(2)}} &\, n \cdot \sin \theta_2 = \sin \theta_3 \\
\text{{(3)}} &\, \sin \theta_3 = \sin \theta_4
\end{align*}
\]

Угол \( \theta_4 \) равен углу смещения, т.е. углу, под которым наблюдатель видит, что ось капилляра смещается из-за преломления света.

Нашей целью является определение показателя преломления \( n \), а для этого можно получить соотношение между \( \theta_1 \) и \( \theta_4 \). Отсюда можно найти \( n \).

Для дальнейшего облегчения вычислений, предположим, что \( \theta_1 \) и \( \theta_4 \) малы, в таком случае можно использовать приближение малых углов (\( \sin x \approx x \)).

Заменив \(\sin \theta_1 \) и \(\sin \theta_4 \) на \(\theta_1 \) и \(\theta_4 \), соответственно, получим:

\[
\begin{align*}
n \cdot \theta_1 &= \theta_2 \\
n \cdot \theta_2 &= \theta_3 \\
\theta_3 &= \theta_4
\end{align*}
\]

Теперь объединим эти уравнения:

\[
\begin{align*}
n \cdot \theta_1 &= \theta_2 \\
n \cdot \theta_2 &= \theta_3 \\
\theta_3 &= \theta_4
\end{align*}
\]

Перезапишем их в терминах радиусов:

\[
\begin{align*}
n \cdot \frac{r}{r_1} &= \frac{r}{r_2} \\
n \cdot \frac{r}{r_2} &= 1
\end{align*}
\]

Где \( r_1 \) и \( r_2 \) - радиусы кривизны поверхностей стекла внутри капилляра и снаружи капилляра соответственно. В данном случае \( r_2 \) - это бесконечность, поэтому \( \frac{r}{r_2} \approx 0 \).

Сокращая выражение на \( r \), мы получаем итоговый результат:

\[ n = \frac{r_1}{r} \]

Таким образом, чтобы определить показатель преломления стекла, достаточно разделить внутренний радиус капилляра \( r_1 \), на внешний радиус капилляра \( r \).

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять, как определить показатель преломления \( n \) стекла, исходя из наблюдаемого смещения радиуса капилляра при наблюдении сбоку. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!