Чему равен радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, если известно, что AC = 22, угол BAC = 97 градусов

Donna

37

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, нам понадобится закон синусов и свойство описанной окружности.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC. Известно, что AC = 22. Затем мы можем использовать закон синусов, который гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где a, b и c - это длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им противолежащие углы.

У нас уже есть длина стороны AC, поэтому мы можем записать:

\[\frac{AC}{\sin(∠BAC)} = \frac{BC}{\sin(∠ACB)} = \frac{AB}{\sin(∠ABC)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{22}{\sin(97^\circ)} = \frac{BC}{\sin(53^\circ)} = \frac{AB}{\sin(∠ABC)}\]

Теперь найдем стороны BC и AB:

\(\frac{22}{\sin(97^\circ)} = \frac{BC}{\sin(53^\circ)}\)

Перенесем BC на одну сторону:

\(BC = \frac{22 \cdot \sin(53^\circ)}{\sin(97^\circ)}\)

Используя калькулятор, мы можем найти точное значение BC, округлим его до двух знаков после запятой.

Теперь найдем сторону AB:

\(\frac{22}{\sin(97^\circ)} = \frac{AB}{\sin(∠ABC)}\)

Перенесем AB на одну сторону:

\(AB = \frac{22 \cdot \sin(∠ABC)}{\sin(97^\circ)}\)

Также используя калькулятор, найдем точное значение AB, округленное до двух знаков после запятой.

Теперь у нас есть длины сторон треугольника ABC. Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\(R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}\)

где R - радиус описанной окружности, a, b и c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

Найдем площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу площади треугольника по сторонам и углам:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(∠ABC)\]

Теперь подставим все значения в формулу радиуса окружности:

\[R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S}\]

Вычислим R, используя значения, которые мы уже нашли.

Ответ на задачу: радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен R.