Чему равен радиус шара, если длина образующей равна длине его равностороннего треугольного осевого сечения, вписанного

Золотой_Орел

2

Для решения этой задачи нам необходимо применить свойства равностороннего треугольника и шара.

Давайте начнем с равностороннего треугольника. Равносторонний треугольник имеет все стороны равными и все углы равными 60 градусам. Также, у равностороннего треугольника высота (от середины основания до вершины) делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Теперь представьте себе шар с радиусом \(r\). Если впишем равносторонний треугольник в этот шар таким образом, чтобы его основание было параллельно плоскости основания шара и его вершина находилась на поверхности шара, то основание треугольника будет касаться центральной оси шара.

Между основанием треугольника и центральной осью шара можно провести прямую линию, которая будет представлять собой образующую шара. Поскольку эта образующая равна длине равностороннего треугольного осевого сечения, то мы можем сказать, что эта образующая равна двум радиусам шара (так как равносторонний треугольник делит образующую пополам).

Представим образующую шара как \(d\) (d = 2r). Теперь нам нужно выразить эту образующую через длину стороны равностороннего треугольника.

Длина стороны равностороннего треугольника равна \(a\). Тогда мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину \(d\).

Так как равносторонний треугольник делит образующую пополам, мы можем использовать его половину как сторону прямоугольного треугольника. Получается, что:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2 = d^2\]

Поскольку \(d = 2r\), мы можем заменить \(d\) в уравнении:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2 = (2r)^2\]

Упростив это уравнение, получаем:

\[\frac{a^2}{4} + r^2 = 4r^2\]

Перенесем все на одну сторону уравнения:

\[\frac{a^2}{4} - 4r^2 + r^2 = 0\]

Это квадратное уравнение с одной неизвестной, \(r\), которое мы можем решить.

Решив это уравнение, получим два значения: \(r = \frac{a}{2}\) и \(r = \frac{-3a}{2}\).

Однако, радиус не может быть отрицательным, поэтому отбросим второе значение. Итак, радиус шара равен \(\frac{a}{2}\).

Итак, если длина образующей равна длине равностороннего треугольного осевого сечения, вписанного в него, то радиус этого шара будет равен половине длины образующей, то есть равен \(\frac{a}{2}\).