Чему равен радиус вписанного в правильную четырехугольную пирамиду шара, если известно, что ее высота равна 5

Lazernyy_Reyndzher_7793

20

Чтобы вычислить радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, нужно использовать свойство равнобочной тетраэдрической пирамиды, что высота, боковое ребро и радиус шара образуют прямоугольный треугольник.

\[\text{{\large В пирамиде CDAB имеем:}}\]
\[\text{{Высота пирамиды (h) = 5 см}}\]
\[\text{{Боковое ребро пирамиды (a) = }} \sqrt{2}\]

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике ACB, где AC - радиус шара (R), BC - половина бокового ребра пирамиды (a/2) и AB - радиус основания пирамиды, верно следующее уравнение:

\[AC^{2} = AB^{2} - BC^{2}\]

Так как пирамида является правильной, значит, ее основание - это квадрат, и радиус основания пирамиды равен половине диагонали квадрата.

Чтобы упростить решение, предположим, что сторона основания пирамиды равна 2, тогда диагональ квадрата, AB, будет равна 2 * \(\sqrt{2}\).

Затем найдем значение BC:

\[BC = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь можем найти значение AC:

\[AC^{2} = \left(2 * \sqrt{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\]
\[AC^{2} = 8 - \frac{2}{4}\]
\[AC^{2} = 8 - \frac{1}{2}\]
\[AC^{2} = \frac{15}{2}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обоих частей уравнения:

\[AC = \sqrt{\frac{15}{2}}\]

Так как радиус шара (AC) не может быть отрицательным, мы получаем, что:

\[AC = \frac{\sqrt{30}}{2}\]

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную правильную четырехугольную пирамиду, равен \(\frac{\sqrt{30}}{2}\) см.