Чему равен угол между плоскостями bcd и bcd1b1 прямого параллелепипеда abcda1b1c1d1, если длина бокового ребра

Веселый_Пират

33

Чтобы найти угол между плоскостями bcd и bcd1b1 в данном прямоугольном параллелепипеде, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности двух плоскостей. Угол между плоскостями можно найти, найдя угол между их нормалями.

Для начала, давайте найдем нормали к каждой из плоскостей. Нормаль к плоскости определяется как вектор, перпендикулярный этой плоскости. Вектор нормали можно найти, найдя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

Рассмотрим плоскость bcd. Эта плоскость проходит через точку b (0, 3√, 0), c (0, 0, 0) и d (3√, 0, 0). Вектор, лежащий в этой плоскости, можно получить путем вычитания координат точек. Поэтому вектор bd будет равен d - b, то есть (3√, 0, 0) - (0, 3√, 0) = (3√, -3√, 0).
Аналогично рассмотрим вторую плоскость bcd1b1. Она проходит через точку b (0, 3√, 0), c1 (0, 0, 3√), d1 (3√, 0, 3√) и b1 (0, 3√, 3√). Вектор bd1 можно получить вычитанием координат точек (3√, 0, 3√) - (0, 3√, 0) = (3√, -3√, 3√). Вектор b1d1 получаем вычитанием (3√, 0, 3√) - (0,3√,3√) = (3√, -3√, 0).

Теперь, чтобы найти векторные нормали, нам нужно найти векторное произведение этих двух векторов.

Умножение векторов bd и bd1 даст нам:
$$\overrightarrow{bd}\times \overrightarrow{bd1}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 3\sqrt{3}& -3\sqrt{3}& 0\\ 3\sqrt{3}& -3\sqrt{3}& 3\sqrt{3}\end{array}\right|$$

Раскроем детерминант:
$$=\overrightarrow{i}(3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}-0\cdot -3\sqrt{3})-\overrightarrow{j}(3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}-0\cdot 3\sqrt{3})+\overrightarrow{k}(3\sqrt{3}\cdot -3\sqrt{3}-3\sqrt{3}\cdot -3\sqrt{3})$$
$$=\overrightarrow{i}(27-0)-\overrightarrow{j}(27-0)+\overrightarrow{k}(-27-27)$$
$$=\overrightarrow{i}\cdot 27-\overrightarrow{j}\cdot 27-\overrightarrow{k}\cdot 54$$
$$=(27,0,-54)$$

Таким образом, мы получаем нормаль к плоскости bcd1b1 (-27, 0, 54).

Теперь мы можем использовать скалярное произведение нормалей, чтобы найти косинус угла между плоскостями:
$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{N1}\cdot \overrightarrow{N2}}{\Vert \overrightarrow{N1}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{N2}\Vert }$$
где $\overrightarrow{N1}$ и $\overrightarrow{N2}$ - нормали к плоскостям bcd и bcd1b1 соответственно.

Подставим значения:
$$\cos (\theta )=\frac{(3\sqrt{3}\cdot -27)+(0\cdot 0)+(0\cdot 54)}{\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+(-27{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{(-27{)}^2+0^2+{54}^2}}$$
$$=\frac{-81\sqrt{3}}{\sqrt{81+729}\cdot \sqrt{729+2916}}$$
$$=\frac{-81\sqrt{3}}{\sqrt{810}\cdot \sqrt{3645}}$$
$$=\frac{-81\sqrt{3}}{9\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{129}}$$
$$=\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{129}}$$
$$=\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10}\sqrt{129}}$$
$$=\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10\cdot 129}}$$
$$=\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10\cdot 3\cdot 43}}$$
$$=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{10\cdot 43}}$$
$$=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}}$$

Теперь мы знаем, что $\cos (\theta )=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}}$. Чтобы найти сам угол $\theta$, мы можем применить обратную функцию косинуса:
$$\theta =\arccos \left(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}}\right)$$

Вычислив это выражение, получаем приблизительное значение угла $\theta$.

$$\theta \approx 2.77$$

Таким образом, угол между плоскостями bcd и bcd1b1 прямого параллелепипеда равен примерно 2.77 радиана.