Чему равен угол между плоскостями bcd и bcd1b1 прямого параллелепипеда abcda1b1c1d1, если длина бокового ребра

Веселый_Пират

33

Чтобы найти угол между плоскостями bcd и bcd1b1 в данном прямоугольном параллелепипеде, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности двух плоскостей. Угол между плоскостями можно найти, найдя угол между их нормалями.

Для начала, давайте найдем нормали к каждой из плоскостей. Нормаль к плоскости определяется как вектор, перпендикулярный этой плоскости. Вектор нормали можно найти, найдя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

Рассмотрим плоскость bcd. Эта плоскость проходит через точку b (0, 3√, 0), c (0, 0, 0) и d (3√, 0, 0). Вектор, лежащий в этой плоскости, можно получить путем вычитания координат точек. Поэтому вектор bd будет равен d - b, то есть (3√, 0, 0) - (0, 3√, 0) = (3√, -3√, 0).
Аналогично рассмотрим вторую плоскость bcd1b1. Она проходит через точку b (0, 3√, 0), c1 (0, 0, 3√), d1 (3√, 0, 3√) и b1 (0, 3√, 3√). Вектор bd1 можно получить вычитанием координат точек (3√, 0, 3√) - (0, 3√, 0) = (3√, -3√, 3√). Вектор b1d1 получаем вычитанием (3√, 0, 3√) - (0,3√,3√) = (3√, -3√, 0).

Теперь, чтобы найти векторные нормали, нам нужно найти векторное произведение этих двух векторов.

Умножение векторов bd и bd1 даст нам:
\[ \vec{bd} \times \vec{bd1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3\sqrt{3} & -3\sqrt{3} & 0 \\ 3\sqrt{3} & -3\sqrt{3} & 3\sqrt{3} \end{vmatrix} \]

Раскроем детерминант:
\[ = \vec{i}(3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} - 0 \cdot -3\sqrt{3}) - \vec{j}(3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} - 0 \cdot 3\sqrt{3}) + \vec{k}(3\sqrt{3} \cdot -3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot -3\sqrt{3}) \]
\[ = \vec{i}(27 - 0) - \vec{j}(27 - 0) + \vec{k}(-27 - 27) \]
\[ = \vec{i} \cdot 27 - \vec{j} \cdot 27 - \vec{k} \cdot 54 \]
\[ = (27, 0, -54) \]

Таким образом, мы получаем нормаль к плоскости bcd1b1 (-27, 0, 54).

Теперь мы можем использовать скалярное произведение нормалей, чтобы найти косинус угла между плоскостями:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{N1} \cdot \vec{N2}}{\|\vec{N1}\| \cdot \|\vec{N2}\|} \]
где \(\vec{N1}\) и \(\vec{N2}\) - нормали к плоскостям bcd и bcd1b1 соответственно.

Подставим значения:
\[ \cos(\theta) = \frac{(3\sqrt{3} \cdot -27) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 54)}{\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-27)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-27)^2 + 0^2 + 54^2}} \]
\[ = \frac{-81\sqrt{3}}{\sqrt{81 + 729} \cdot \sqrt{729 + 2916}} \]
\[ = \frac{-81\sqrt{3}}{\sqrt{810} \cdot \sqrt{3645}} \]
\[ = \frac{-81\sqrt{3}}{9\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{129}} \]
\[ = \frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{129}} \]
\[ = \frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10}\sqrt{129}} \]
\[ = \frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10 \cdot 129}} \]
\[ = \frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 43}} \]
\[ = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{10 \cdot 43}} \]
\[ = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}} \]

Теперь мы знаем, что \(\cos(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}}\). Чтобы найти сам угол \(\theta\), мы можем применить обратную функцию косинуса:
\[ \theta = \arccos \left( \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{430}} \right) \]

Вычислив это выражение, получаем приблизительное значение угла \(\theta\).

\[ \theta \approx 2.77 \]

Таким образом, угол между плоскостями bcd и bcd1b1 прямого параллелепипеда равен примерно 2.77 радиана.