Какова величина угла между плоскостью сечения и плоскостью основания в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD, если
Какова величина угла между плоскостью сечения и плоскостью основания в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD, если площадь сечения в 1,125 раза больше площади основания?
Жанна 3
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойства правильных четырёхугольных пирамид и отношение площадей.Давайте разберем эту задачу пошагово:
1. Первым шагом, давайте вспомним свойства пирамиды MABCD. Правильная четырёхугольная пирамида имеет все грани равных размеров и прямые углы между соседними гранями.
2. По условию задачи, площадь сечения (\(S_{\text{сечения}}\)) пирамиды в 1,125 раза больше площади основания (\(S_{\text{основания}}\)). Мы можем записать это условие математически следующим образом:
\[S_{\text{сечения}} = 1,125 \times S_{\text{основания}}\]
3. Мы знаем, что пирамида MABCD является правильной четырёхугольной пирамидой, т.е. все её боковые грани равны между собой и образуют прямые углы с плоскостью основания.
4. Общая формула для площади четырёхугольной пирамиды с площадью сечения (\(S_{\text{сечения}}\)) и площадью основания (\(S_{\text{основания}}\)):
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} + 4 \times S_{\text{боковой грани}}\]
5. В правильной четырёхугольной пирамиде, все грани боковых граней равны, поэтому мы можем записать формулу площади пирамиды следующим образом:
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} + 4 \times S_{\text{боковой грани}} = S_{\text{основания}} + 4 \times \frac{S_{\text{сечения}}}{4}\]
6. Подставим \(S_{\text{сечения}} = 1,125 \times S_{\text{основания}}\) в формулу площади пирамиды:
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} + 4 \times \frac{1,125 \times S_{\text{основания}}}{4}\]
7. Упростим формулу:
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} + \frac{4 \times 1,125 \times S_{\text{основания}}}{4} = S_{\text{основания}} + 1,125 \times S_{\text{основания}}\]
8. Еще раз упростим:
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} \times (1 + 1,125) = S_{\text{основания}} \times 2,125\]
9. Теперь, вспомним, что площадь пирамиды равна площади основания (\(S_{\text{основания}}\)) умноженной на высоту пирамиды (\(h\)). Запишем это математически:
\[S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} \times h\]
10. Подставим \(S_{\text{пирамиды}} = S_{\text{основания}} \times 2,125\) в формулу площади пирамиды:
\[S_{\text{основания}} \times 2,125 = S_{\text{основания}} \times h\]
11. Упростим формулу, разделив обе части на \(S_{\text{основания}}\):
\[2,125 = h\]
12. Таким образом, мы получили, что высота пирамиды (\(h\)) равна 2,125 единицы длины.
13. Из свойств пирамиды мы знаем, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания. То есть, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 90 градусам.
Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что величина угла между плоскостью сечения и плоскостью основания в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD равна 90 градусам.