Чему равна длина окружности C если ∪EF=60°, DE=8 см, и π

Звездный_Адмирал

12

Для решения данной задачи, нам понадобится знание некоторых свойств окружности.

Длина окружности (обозначаемая символом \(C\)) можно вычислить по формуле:
\[C = 2 \pi r\]
где \(r\) - радиус окружности.

В задаче нам дано значение угла \(\angle EF\) (в данном случае равное 60°) и длина отрезка \(DE\) (в данном случае равное 8 см). Отрезок \(DE\) является хордой окружности и делит её на две дуги.

Теперь давайте разберемся, как найти радиус окружности. Рассмотрим правильный пятиугольник OABCD, вписанный в данную окружность, где O - центр окружности, а A, B, C, D - точки пересечения окружности с хордой \(DE\) и её продолжением. Также известно, что отрезок \(AD\) равен радиусу окружности.

Из свойств правильного пятиугольника можно сделать следующие наблюдения:
1. Число сторон правильного пятиугольника равно пяти, а значит, вписанный угол (в данном случае \(\angle AOD\)) равен \(360° / 5 = 72°\).
2. Хорда \(DE\) делит угол \(\angle AOD\) пополам (или, что равносильно, каждая дуга AOE и AOD равна половине окружности). Так как \(\angle AOD\) равен 72°, то угол \(\angle EOD\) равен \(72° / 2 = 36°\).
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому угол \(\angle EOD\) (36°) + угол \(\angle DEO\) + угол \(\angle EDO\) должны в сумме давать 180°. Заметим, что угол \(\angle DEO\) равен \(\angle EDO\), так как стороны DE и EO равны (это следует из равенства дуг AO и DO). Таким образом, углы \(\angle DEO\) и \(\angle EDO\) должны равняться \(180° - 36° = 144° / 2 = 72°\).
4. В исходной задаче угол \(\angle EDF\) равен 60°, значит, угол \(\angle EDO\) равен \(180° - 60° = 120°\).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника DEO, чтобы выразить радиус окружности:
\[DE^2 = EO^2 + OD^2 - 2 \cdot EO \cdot OD \cdot \cos(\angle EDO)\]

Подставим известные значения:
\[8^2 = EO^2 + OD^2 - 2 \cdot EO \cdot OD \cdot \cos(120°)\]

Учитывая, что сторона треугольника \(EO\) равна радиусу окружности, обозначим \(r\) и продолжим вычисления:
\[64 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120°)\]
\[64 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \cos(120°)\]
\[64 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]
\[64 = 2r^2 + r^2\]
\[64 = 3r^2\]

Теперь выразим радиус, домножив обе части уравнения на \(\frac{1}{3}\):
\[r^2 = \frac{64}{3}\]
\[r = \sqrt{\frac{64}{3}}\]

Наконец, длину окружности \(C\) можно вычислить, подставив найденное значение радиуса в формулу:
\[C = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{64}{3}}\]

Таким образом, длина окружности \(C\) будет равна \(2 \pi \cdot \sqrt{\frac{64}{3}}\) см. Округлив это значение, получим окончательный ответ.