Чему равна длина стороны TP, если KP задано и проведена высота ТК из прямого угла треугольника MTP, которая делит

Vitaliy

39

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников. Для начала, обозначим длину гипотенузы треугольника MTP как c, длину катета TP как x, а длину катета KP, который является известным, как a.

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
\[c^2 = x^2 + a^2\]

Теперь рассмотрим треугольники MTK и TPM. Они подобны по двум углам (по углу при вершине Т и прямому углу), поэтому отношение длин их сторон будет одинаковым. Мы можем записать это отношение следующим образом:
\(\frac{x}{a} = \frac{c}{x}\)

Далее, можем переписать это уравнение в виде:
\(x^2 = ac\)

Теперь имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{align*}
c^2 &= x^2 + a^2 \\
x^2 &= ac
\end{align*}\]

Для получения значения x, используем метод подстановки. Из второго уравнения имеем:
\(c^2 = (ac) + a^2\)

Раскроем скобки:
\(c^2 = ac + a^2\)

Теперь выразим c через a:
\(c = \frac{a^2}{a - 1}\)

Подставим значение c в первое уравнение:
\(\frac{a^4}{(a - 1)^2} = \frac{a^2}{a - 1} + a^2\)

Домножим обе части уравнения на \((a - 1)^2\):
\(a^4 = a^3 - a^2 + a^2(a - 1)^2\)

Раскроем скобки:
\(a^4 = a^3 - a^2 + a^2(a^2 - 2a + 1)\)

Сократим суммирующиеся члены:
\(a^4 = a^3 + a^4 - 2a^3 + a^2\)

Теперь можем избавиться от степени 4:
\(0 = a^3 - 2a^2\)

Вынесем общий множитель a^2:
\(0 = a^2(a - 2)\)

Отсюда получаем два возможных значения для a:
\(a = 0\) или \(a = 2\)

Если a = 0, то треугольник MTP вырождается в отрезок MP, и задача не имеет смысла.

Если a = 2, подставим это значение в первое уравнение:
\[c^2 = x^2 + 2^2\]
\[c^2 = x^2 + 4\]

Чтобы выбрать подходящую пару значений для x и c, рассмотрим условие задачи, что высота ТК делит гипотенузу на две части. Это означает, что длина гипотенузы c должна быть в два раза больше длины катета x. Таким образом, получаем:
\[c = 2x\]

Подставим это выражение в уравнение:
\[4x^2 = x^2 + 4\]

Вычтем x^2 из обеих частей уравнения:
\[3x^2 = 4\]

Разделим обе части уравнения на 3:
\[x^2 = \frac{4}{3}\]

Извлекаем корень из обеих частей уравнения:
\[x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем положительное значение:
\[x = \sqrt{\frac{4}{3}}\]

Итак, длина стороны TP равна \(\sqrt{\frac{4}{3}}\).