Чему равна площадь круга, который вписан в равносторонний треугольник со стороной?

Cherepashka_Nindzya

70

Чтобы найти площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной \( a \), нам потребуется использовать несколько свойств фигур.

Для начала, давайте найдем высоту \( h \) равностороннего треугольника. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны друг другу. Поэтому \( h \) будет также являться медианой и высотой.

Медиана треугольника делит его на две равные треугольные части. Таким образом, мы можем разделить наш равносторонний треугольник на два равнобедренных треугольника. Один из этих равнобедренных треугольников является прямоугольным треугольником со стороной \( a \) и высотой \( h \).

Мы можем использовать теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника, чтобы найти его высоту \( h \). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, гипотенуза равена \( a \), а катеты равны \(\frac{a}{2}\) (половина стороны треугольника).

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Теперь мы можем перейти к нахождению радиуса \( r \) вписанного круга. Радиус круга перпендикулярен стороне равностороннего треугольника и проходит через центр круга. Мы можем найти радиус, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой \( h \), половиной стороны треугольника и радиусом \( r \).

\[ r^2 = h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

Наконец, мы можем использовать формулу для площади круга, чтобы найти площадь \( S \).

\[ S = \pi r^2 \]

Подставляя значения радиуса, мы получаем:

\[ S = \pi \left(h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) \]

Таким образом, площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной \( a \), равна \( \pi \left(h^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) \), где \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \).

Это детальное объяснение позволяет понять школьнику каждый шаг нахождения площади круга вписанного в равносторонний треугольник.