Чему равна площадь полной поверхности четырехугольной пирамиды с основанием, длина стороны которого составляет 10см

Радужный_Мир

55

Апофема четырехугольной пирамиды - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра основания и перпендикулярный этой основе. Для решения задачи нам понадобятся формулы для нахождения площади полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

\[S = S_{осн} + S_{бок}.\]

Где \(S_{осн}\) - площадь основания пирамиды, а \(S_{бок}\) - сумма площадей боковых граней пирамиды.

Первым шагом найдем площадь основания пирамиды. Основание является четырехугольником со стороной, длина которой составляет 10 см. Площадь четырехугольника можно найти разбив его на два треугольника. Основание четырехугольника представляет собой прямоугольник, поэтому можно использовать формулу для площади прямоугольника \(S_{пр} = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

Пусть длины сторон прямоугольника составляют \(a = 10 \, \text{см}\) и \(b = 10 \, \text{см}\). Тогда площадь основания пирамиды будет:

\[S_{осн} = 10 \, \text{см} \times 10 \, \text{см} = 100 \, \text{см}^2.\]

Далее, найдем площадь боковых граней пирамиды. Поскольку пирамида четырехугольная, у нее 4 боковые грани, соответственно необходимо найти площадь одной такой грани. Если пирамида правильная, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу Герона.

Пусть длина основания равнобедренного треугольника составляет \(a = 10 \, \text{см}\), а длина боковой стороны - \(b = 10 \, \text{см}\). Поскольку треугольник равнобедренный, высота будет совпадать с апофемой пирамиды. Пусть апофема пирамиды равна \(h\) (см). Тогда, чтобы найти значение \(h\), можно использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного боковой стороной, половиной основания и апофемой:

\[h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 10^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 100 - 25\]
\[h^2 = 75\]
\[h = \sqrt{75} \approx 8.66 \, \text{см}.\]

Теперь у нас есть значение апофемы \(h\), а следовательно, и высоты боковой грани пирамиды. Площадь боковых граней равна:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота боковой грани}.\]

Периметр правильной четырехугольной пирамиды с основанием длиной стороны \(a\) равен \(P = 4a\). То есть,

\[P = 4 \times 10 \, \text{см} = 40 \, \text{см}.\]

Подставляем значения в формулу:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \times 40 \, \text{см} \times 8.66 \, \text{см} \approx 173.2 \, \text{см}^2.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания (\(S_{осн} = 100 \, \text{см}^2\)) и площадь боковых граней (\(S_{бок} \approx 173.2 \, \text{см}^2\)), мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды:

\[S = S_{осн} + S_{бок}\]
\[S = 100 \, \text{см}^2 + 173.2 \, \text{см}^2\]
\[S \approx 273.2 \, \text{см}^2.\]

Итак, площадь полной поверхности четырехугольной пирамиды составляет примерно 273.2 квадратных сантиметра.