Каково расстояние от центра окружности до касательной прямой, проходящей через ее центр А, если радиус окружности равен

Yard

38

Для решения данной задачи, давайте вспомним основные свойства окружностей и касательных.

Свойство 1: Касательная, проведенная к окружности в точке касания, перпендикулярна радиусу, проведенному в этой же точке.
Свойство 2: Если прямая проходит через центр окружности, то она является диаметром этой окружности.

В данной задаче говорится, что касательная прямая проходит через центр окружности. Исходя из свойства 2, мы можем сделать вывод, что данная касательная является диаметром окружности.

Теперь вводим некоторые обозначения:
- \(O\) - центр окружности
- \(A\) - центр касательной и одновременно середина диаметра
- \(B\) - точка касания окружности и касательной
- \(r\) - радиус окружности

Так как \(OA\) является радиусом окружности, а касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, то у нас получается прямоугольный треугольник \(OAB\).

По свойству прямоугольных треугольников, мы знаем, что гипотенуза является вдвое большей чем каждый из катетов. То есть, отрезок \(OA\) является вдвое большим, чем отрезок \(AB\).

Обозначим значение отрезка \(AB\) как \(x\). Тогда отрезок \(OA\) будет равен \(2x\).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(OAB\) с катетами \(x\) и \(2x\), и гипотенузой равной радиусу окружности \(r\).

Применяя теорему Пифагора для этого треугольника, имеем:
\[x^2 + (2x)^2 = r^2\]
\[x^2 + 4x^2 = r^2\]
\[5x^2 = r^2\]

Теперь найдем значение отрезка \(AB\):
\[x^2 = \frac{{r^2}}{5}\]
\[x = \sqrt{\frac{{r^2}}{5}}\]

Таким образом, расстояние от центра окружности до касательной прямой составляет \(x = \sqrt{\frac{{r^2}}{5}}\).