Если радиус вписанной окружности равен r, найдите площадь прямоугольной трапеции, где одна из больших сторон равна

Марат

17

Хорошо, чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам понадобится некоторое время для решения задачи. Давайте начнем!

Итак, у нас есть прямоугольная трапеция с одной из больших сторон (оснований) равной \(a\) и радиусом вписанной окружности, равным \(r\). Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства вписанных окружностей, а также знание о площади треугольника.

Первым шагом мы можем нарисовать схему прямоугольной трапеции, чтобы было более наглядно:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & \underline{\hspace{0.5cm}} & & \underline{\hspace{0.5cm}} & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& \underline{\hspace{3cm}} & & \underline{\hspace{3cm}} & \\
& \text{основание } a & & \text{основание } a+2r &
\end{array}
\]

Наша задача состоит в том, чтобы найти площадь этой трапеции. Мы можем разбить эту трапецию на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, как показано на схеме:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & \underline{\hspace{0.5cm}} & & \underline{\hspace{0.5cm}} & \\
& & | & & | & \\
A & & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& \underline{\hspace{1.5cm}} & & \underline{\hspace{1.5cm}} & \underline{\hspace{1cm}} \\
& \text{основание } a & & \text{основание } a+r & \text{основание } 2r & \\
\end{array}
\]

Теперь, когда у нас есть этот разбиение, мы можем выразить площадь трапеции, используя площади треугольников и прямоугольника. Площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников и прямоугольника:

\[
\text{Площадь трапеции} = \text{Площадь треугольника } A + \text{Площадь треугольника } B + \text{Площадь прямоугольника } C
\]

Давайте вычислим каждую из этих площадей.

1. Площадь треугольника \(A\):
Все треугольники вписаны и опираются на радиус \(\vartriangle ABC\) , поэтому треугольник \(A\) является прямоугольным с катетами, равными \(r\) и \(a\). Поэтому площадь треугольника \(A\) равна \(S_A = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a\).

2. Площадь треугольника \(B\):
Треугольник \(B\) также является прямоугольным, с катетами \(a\) и \(r\). Площадь треугольника \(B\) равна \(S_B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r\).

3. Площадь прямоугольника \(C\):
Прямоугольник \(C\) имеет стороны \(a+r\) и \(2r\), поэтому его площадь равна \( S_C = (a+r) \cdot 2r \).

Теперь, когда у нас есть площади всех элементов трапеции, мы можем вычислить общую площадь:

\[
\text{Площадь трапеции} = S_A + S_B + S_C = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a + \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + (a+r) \cdot 2r
\]

Упрощая это выражение, получим:

\[
\text{Площадь трапеции} = r \cdot a + a \cdot r + 2r \cdot (a+r)
\]

Объединяя подобные члены, получим:

\[
\text{Площадь трапеции} = 2ar + 2r^2 + 2ar + 2r^2 = 4ar + 4r^2
\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, где одна из больших сторон равна \(a\) и радиус вписанной окружности равен \(r\) равна \(4ar + 4r^2\).

Надеюсь, это решение было понятным и полезным для вас. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!