Чему равна площадь треугольника AOB, если длина дуги AB равна 120° и длина окружности на рисунке равна 16π?

Александр

13

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойствами окружностей и треугольников. Для начала нам понадобится знание формулы длины дуги окружности:

\[ L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360} \]

где \( L \) - длина дуги, \( R \) - радиус окружности, а \( \alpha \) - центральный угол в градусах.

Мы также знаем, что площадь треугольника можно найти, используя одну из следующих формул:

1. Формула Герона:
\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( p \) - полупериметр треугольника, а \( a \), \( b \) и \( c \) - длины его сторон.

2. Формула для высоты:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина основания треугольника и \( h \) - высота треугольника, опущенная на это основание.

Теперь приступим к решению задачи. Для начала найдем радиус окружности. Мы знаем, что длина окружности равна 16π, поэтому можно записать уравнение:

\[ 2\pi R = 16\pi \]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\):

\[ R = 8 \]

Теперь осталось найти длину стороны треугольника. Длина дуги AB равна 120°, а центральный угол равен \(360 - 120 = 240\)°. Мы можем записать уравнение:

\[ \frac{2\pi \cdot 8 \cdot 240}{360} = AB \]

Выполняя вычисления, получаем \( AB = \frac{16\pi}{3} \).

Теперь мы можем использовать найденные значения для нахождения площади треугольника. Используя формулу для высоты, мы можем записать:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot R \]

Подставляя значения, получаем:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\pi}{3} \cdot 8 = \frac{64\pi}{3} \]

Итак, площадь треугольника AOB равна \(\frac{64\pi}{3}\).