Чему равна поверхностная площадь прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2 и 4, а диагональю 3 корень?

Магический_Кот

45

Конечно! Давайте посчитаем поверхностную площадь прямоугольного параллелепипеда с заданными размерами.

Поверхностная площадь параллелепипеда состоит из площадей его шести граней. У нас даны два ребра и диагональ, поэтому мы можем легко определить размеры остальных граней.

Для начала, вычислим высоту параллелепипеда с помощью теоремы Пифагора. Зная длину диагонали и два измерения (2 и 4), мы можем получить третье измерение.

Для удобства обозначим длину заданной диагонали как \(d = 3 \sqrt{2}\). Это означает, что \(d^2 = 18\).

Теперь применим теорему Пифагора: сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату самой длинной стороны.

Таким образом, у нас есть \(2^2 + 4^2 = h^2\), где \(h\) обозначает высоту параллелепипеда.

Вычислим: \(4 + 16 = h^2\), что приводит нас к уравнению \(20 = h^2\).

Теперь найдем значение высоты. Извлекая квадратный корень из обоих сторон уравнения, мы получаем: \(h = \sqrt{20}\).

Таким образом, высота параллелепипеда равна \(\sqrt{20}\).

Чтобы найти поверхностную площадь, у нас есть формула \(P = 2lw + 2lh + 2wh\), где \(l\), \(w\), и \(h\) - это длина, ширина и высота параллелепипеда соответственно.

Подставим известные значения в формулу: \(P = 2 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{20} + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{20}\).

Вычисляя дальше, получаем: \(P = 16 + 4\sqrt{20} + 8\sqrt{20}\).

Упрощая выражение: \(P = 16 + 12\sqrt{20}\).

Теперь давайте упростим корень из 20. Заметим, что 20 можно разложить на множители как 4 * 5.

Следовательно, \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).

Теперь подставим эту упрощенную формулу обратно в исходное выражение для поверхностной площади:

\(P = 16 + 12 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}\).

Продолжая упрощать выражение, получаем: \(P = 16 + 24\sqrt{5}\).

Окончательный ответ: Поверхностная площадь прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2 и 4, и диагональю равной \(3\sqrt{2}\), равна \(16 + 24\sqrt{5}\).