Яка площа трикутника, якщо радіус кола, яке описує його, становить 8 см, а два кути трикутника мають кутову величину

Хвостик

51

Для начала нам нужно вычислить сторону треугольника, чтобы определить его площадь. Мы можем использовать теорему синусов для этого.

По теореме синусов, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно радиусу окружности, описывающей треугольник. Мы знаем, что радиус окружности составляет 8 см.

Так как два угла треугольника имеют углы величиной 45 градусов, сумма этих углов равна 90 градусов. Поскольку треугольник является плоским, третий угол также должен быть равен 90 градусов.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, третий угол составляет 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Теперь, когда мы знаем углы треугольника, мы можем использовать теорему синусов для вычисления стороны треугольника. Обозначим эту сторону буквой a.

\[\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \, \text{см}}{1}\]

\[\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\]

\[\frac{a}{\sqrt{2}/2} = 8\]

\[\frac{a}{\sqrt{2}} = 8\]

\[a = 8 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\]

Теперь, когда мы знаем сторону треугольника, мы можем использовать формулу для вычисления его площади.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где a и b - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами.

Так как у нас прямоугольный треугольник с двумя сторонами длиной \(8 \cdot \sqrt{2}\) см и углом C равным 45 градусов, мы можем вычислить площадь треугольника следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 45^\circ\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[S = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[S = 16 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}^2\]

Итак, площадь треугольника равна \(16 \cdot \sqrt{2}\) квадратных сантиметров.