Чему равна производная функции у=log (cos2x) по основанию 7

Кедр

7

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать два важных правила дифференцирования: правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования логарифма.

1. Правило дифференцирования сложной функции:

Если у нас есть функция \( f(g(x)) \), то ее производная равна произведению производной внешней функции \( f"(g(x)) \) и производной внутренней функции \( g"(x) \).

2. Правило дифференцирования логарифма:

Производная логарифма натурального основания равна \( \frac{1}{x} \).
Производная логарифма по основанию a равна \( \frac{1}{x \ln a} \).

Теперь решим задачу:

У нас есть функция \( y = \log_7(\cos^2(x)) \). Мы хотим найти производную этой функции по основанию 7.

1. Вначале найдем производную внутренней функции \( \cos^2(x) \).
Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = \cos^2(x) \).
Тогда \( y = \log_7(u) \).

Найдем производную функции \( u \).
Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степени.

\( \frac{du}{dx} = 2\cos(x)\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -2\sin(x)\cos(x) \).

2. Теперь найдем производную функции \( y = \log_7(u) \).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования логарифма.

\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{u\ln 7} \).

3. Совмещаем результаты. У нас есть производная \( \frac{du}{dx} = -2\sin(x)\cos(x) \) и производная \( \frac{dy}{du} = \frac{1}{u\ln 7} \).

Производная \( y \) по \( x \) равна произведению \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dy}{du} \):

\( \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dy}{du} = -2\sin(x)\cos(x) \cdot \frac{1}{u\ln 7} \).

4. Заменяем обратно \( u = \cos^2(x) \).

\( \frac{dy}{dx} = -2\sin(x)\cos(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)\ln 7} \).

5. Упрощаем выражение.

\( \frac{dy}{dx} = -2\sin(x)\cos(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)\ln 7} = -\frac{2\sin(x)}{\cos(x)\ln 7} \).

Таким образом, производная функции \( y = \log_7(\cos^2(x)) \) по основанию 7 равна \( -\frac{2\sin(x)}{\cos(x)\ln 7} \).