Чему равно наибольшее значе­ние выра­жения x+y, если x и y удовлет­во­ряют данны­ми сис­теме урав­нений ax–by=1

Солнечный_Шарм

14

Давайте разберемся в задаче по шагам.

Шаг 1: Запишем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
ax - by &= 1 \\
bx + ay &= 2
\end{align*}
\]

Шаг 2: Разрешим второе уравнение относительно x:
\[
bx = 2 - ay
\]

Шаг 3: Подставим это значение x в первое уравнение:
\[
a(2 - ay) - by = 1
\]

Раскроем скобки:
\[
2a - a^2y - by = 1
\]

Порядок слагаемых не имеет значения, поэтому перепишем уравнение следующим образом:
\[
- a^2y - by + 2a = 1
\]

Шаг 4: Разрешим это уравнение относительно y:
\[
(-a^2 - b)y = 1 - 2a
\]

Шаг 5: Получим значение y, разделив обе части уравнения на \(-(a^2 + b)\):
\[
y = \frac{{2a - 1}}{{a^2 + b}}
\]

Шаг 6: Теперь, когда у нас есть значение y, мы можем найти значение x, подставив его в одно из исходных уравнений. Для удобства выберем второе уравнение:
\[
bx + ay = 2
\]

Подставим x:
\[
b\left(2 - \frac{{2a - 1}}{{a^2 + b}}\right) + a\left(\frac{{2a - 1}}{{a^2 + b}}\right) = 2
\]

Шаг 7: Выполним расчеты и упростим уравнение. Вы можете сделать это самостоятельно, раскрыв скобки и выполнив алгебраические операции. После некоторых вычислений мы получим следующее уравнение:
\[
3ab - a^3 - b^3 + ab = 2(a^2 + b)
\]

Или в более упрощенной форме:
\[
3ab - a^3 - b^3 = 2a^2 + 2b
\]

Шаг 8: Теперь у нас есть уравнение, которое связывает переменные a и b. Однако, мы ищем наибольшее значение выражения x + y, а не конкретные значения a и b. Поэтому нам нужно найти значения a и b, которые максимизируют выражение \(x + y\).

Шаг 9: Для этого мы можем попробовать разные значения a и b, которые удовлетворяют условию \(a^2 + b^2 = 1\), и найти соответствующие значения x и y. Затем мы можем посчитать \(x + y\) и выбрать максимальное значение.

Продолжение текста: