Чему равно значение коэффициента при x^18 в результате раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых в выражении

Puteshestvennik_Vo_Vremeni

10

Чтобы найти значение коэффициента при \(x^{18}\) при раскрытии скобок и сокращении подобных слагаемых в выражении \((x+5)^{10} \cdot (2x-1)^9\), мы будем применять биномиальный коэффициент и свойство коммутативности умножения.

В начале нам нужно разложить каждую скобку по формуле бинома Ньютона. Для этого мы воспользуемся формулой:
\[(a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n,\]
где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Таким образом, разложим первую скобку \((x+5)^{10}\):
\((x+5)^{10} = C_{10}^0 \cdot x^{10} \cdot 5^0 + C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot 5^1 + C_{10}^2 \cdot x^8 \cdot 5^2 + \ldots + C_{10}^{10} \cdot x^0 \cdot 5^{10}.\)

Аналогично разложим вторую скобку \((2x-1)^9\):
\((2x-1)^9 = C_9^0 \cdot (2x)^9 \cdot (-1)^0 + C_9^1 \cdot (2x)^8 \cdot (-1)^1 + C_9^2 \cdot (2x)^7 \cdot (-1)^2 + \ldots + C_9^9 \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9.\)

Теперь перемножим эти два выражения, применяя свойство коммутативности умножения и сокращая подобные слагаемые:
\((x+5)^{10} \cdot (2x-1)^9 = \left(C_{10}^0 \cdot x^{10} \cdot 5^0 + C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot 5^1 + C_{10}^2 \cdot x^8 \cdot 5^2 + \ldots + C_{10}^{10} \cdot x^0 \cdot 5^{10}\right) \cdot \left(C_9^0 \cdot (2x)^9 \cdot (-1)^0 + C_9^1 \cdot (2x)^8 \cdot (-1)^1 + C_9^2 \cdot (2x)^7 \cdot (-1)^2 + \ldots + C_9^9 \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9\right).\)

Теперь мы должны перемножить каждое слагаемое первой скобки с каждым слагаемым второй скобки. Проделаем это поэлементно и приведем подобные слагаемые:
\begin{align*}
&\left(C_{10}^0 \cdot x^{10} \cdot 5^0\right) \cdot \left(C_9^0 \cdot (2x)^9 \cdot (-1)^0\right) \\
&+ \left(C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot 5^1\right) \cdot \left(C_9^1 \cdot (2x)^8 \cdot (-1)^1\right) \\
&+ \ldots \\
&+ \left(C_{10}^{10} \cdot x^0 \cdot 5^{10}\right) \cdot \left(C_9^9 \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9\right).
\end{align*}

Теперь мы можем найти значение коэффициента при \(x^{18}\). Это будет в сумме всех слагаемых, содержащих \(x^{18}\). Все остальные слагаемые, не содержащие \(x^{18}\), обратятся в ноль.
Так как у нас есть члены с \(x^{10}\), \(x^9\), \(x^8\) и так далее до \(x^0\), чтобы получить \(x^{18}\), мы можем рассмотреть только два случая:
1. \(x^{10} \cdot x^{8}\) - из первой скобки выбираем \(x^{10}\), а из второй - \(x^{8}\).
2. \(x^{9} \cdot x^9\) - один \(x^9\) приходит из первой скобки, а другой - из второй.

Рассмотрим первый случай:
\[\left(C_{10}^0 \cdot x^{10} \cdot 5^0\right) \cdot \left(C_9^9 \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9\right).\]
Здесь коэффициенты биномиальных коэффициентов равны 1, так как это слагаемое содержит только одно слагаемое из каждой скобки:
\[\left(x^{10} \cdot 5^0\right) \cdot \left(1 \cdot (2x)^0 \cdot (-1)^9\right).\]
Упростим выражение:
\[x^{10} \cdot 1 \cdot (-1)^9 = -x^{10}.\]

Рассмотрим второй случай:
\[\left(C_{10}^1 \cdot x^9 \cdot 5^1\right) \cdot \left(C_9^8 \cdot (2x)^1 \cdot (-1)^1\right).\]
Здесь коэффициенты биномиальных коэффициентов равны 1:
\[\left(x^9 \cdot 5^1\right) \cdot \left(1 \cdot (2x)^1 \cdot (-1)^1\right).\]
Упростим выражение:
\[x^9 \cdot 5 \cdot (-2x) = -10x^{10}.\]

Таким образом, получили два слагаемых, содержащих \(x^{18}\): \(-x^{10}\) и \(-10x^{10}\).
Сложим их, чтобы получить итоговый коэффициент:
\(-x^{10} + (-10x^{10}) = -11x^{10}.\)

Таким образом, значение коэффициента при \(x^{18}\) после раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых в выражении \((x+5)^{10} \cdot (2x-1)^9\) равно \(-11\).