Сколько цифр содержит результат умножения числа 2020 на число вида 11...11, состоящее из 2020 единиц?

Барон

14

Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на число вида 11...11, состоящее из 2020 единиц. Для начала, давайте представим это число в виде суммы степеней числа 10:

\[11...11 = 10^{2019} + 10^{2018} + \dots + 10^2 + 10^1 + 10^0.\]

Теперь давайте умножим число 2020 на это число:

\[2020 \cdot (10^{2019} + 10^{2018} + \dots + 10^2 + 10^1 + 10^0).\]

Для начала умножим число 2020 на каждую из степеней числа 10:

\[2020 \cdot 10^{2019} + 2020 \cdot 10^{2018} + \dots + 2020 \cdot 10^2 + 2020 \cdot 10^1 + 2020 \cdot 10^0.\]

В результате получаем строку из 2020 чисел 2020:

\[2020 \cdot (10^{2019} + 10^{2018} + \dots + 10^2 + 10^1 + 10^0) = 2020 \cdot 2020 \cdot ... \cdot 2020.\]

Теперь давайте посчитаем, сколько цифр содержит это число. Что ж, каждое число 2020 содержит 4 цифры, поэтому в результате получим:

\[4 + 4 + \dots + 4 = 2020 \cdot 4 = 8080.\]

Таким образом, ответ на задачу составляет 8080 цифр.