Чему равно значение переменной t, при котором разность дробей 1/t-4 и 6/t+4 равна их произведению?

Yak

30

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Дано: мы имеем две дроби, \(\frac{1}{t-4}\) и \(\frac{6}{t+4}\), и нам нужно найти значение переменной \(t\), при котором разность этих дробей равна их произведению.

2. Пусть \(t\) - значение переменной, которое мы ищем.

3. Разбиваем условие на две части. Первая часть: разность дробей равна их произведению. Математически это выражается следующим образом:
\(\frac{1}{t-4} - \frac{6}{t+4} = \frac{1}{t-4} \cdot \frac{6}{t+4}\).

4. Упростим левую часть:
\(\frac{1}{t-4} - \frac{6}{t+4} = \frac{(t+4) - 6(t-4)}{(t-4)(t+4)}\).

5. Раскроем скобки и упростим числитель:
\(\frac{t+4-6t+24}{(t-4)(t+4)} = \frac{-5t+28}{(t-4)(t+4)}\).

6. Теперь упростим правую часть, которая является произведением дробей:
\(\frac{1}{t-4} \cdot \frac{6}{t+4} = \frac{6}{(t-4)(t+4)}\).

7. Таким образом, мы получаем уравнение:
\(\frac{-5t+28}{(t-4)(t+4)} = \frac{6}{(t-4)(t+4)}\).

8. Обратите внимание, что знаменатели обеих частей уравнения равны \((t-4)(t+4)\). Если знаменатели равны, то числители тоже должны быть равны:
\(-5t+28 = 6\).

9. Теперь решим уравнение по отношению к \(t\):
\(-5t+28-28=6-28\),
\(-5t=-22\),
\(t=\frac{-22}{-5}\).

10. Итак, разность дробей \(\frac{1}{t-4}\) и \(\frac{6}{t+4}\) равна их произведению при \(t = \frac{-22}{-5}\).

Ответ: Значение переменной \(t\), при котором разность дробей \(\frac{1}{t-4}\) и \(\frac{6}{t+4}\) равна их произведению, равно \(t = \frac{-22}{-5}\).