Чему равны cos (t+6п), tg(t-3п) и sin(-t), если ctg^2 t = 4/9 и t принадлежит промежутку от 3п/2

Valentinovich

1

Хорошо, рассмотрим задачу шаг за шагом.

Дано: ctg^2 t = 4/9, где t - принадлежит промежутку от 3п/2.

Итак, первым шагом нам понадобится найти значение tg(t). Для этого воспользуемся тождеством tg(t) = 1/ctg(t).

В данной задаче, мы знаем, что ctg^2 t = 4/9. Подставим это в тождество и получим:
tg(t) = 1/(ctg(t)) = 1/√(4/9) = √(9/4) = 3/2.

Теперь рассмотрим значение cos(t+6п). Воспользуемся формулой суммы для cos(t+u): cos(t+u) = cos(t)*cos(u) - sin(t)*sin(u).
В этом случае u = 6п и t принадлежит промежутку от 3п/2, поэтому t+u = 3п/2 + 6п = 13п/2.

Теперь мы можем вычислить cos(t+6п) с использованием данной формулы:
cos(t+6п) = cos(t)*cos(6п) - sin(t)*sin(6п).

Значение cos(t) мы не знаем, но мы можем найти его из тождества ctg^2 t = cos^2 t / sin^2 t = 4/9.
Домножим обе части на sin^2 t: cos^2 t = (4/9) * sin^2 t.
Теперь выразим cos(t) и sin(t) через sin(t) и найдем их значения.
cos(t) = √((4/9) * sin^2 t) = (√(4) * sin t) / 3 = 2sin(t) / 3.

Теперь, чтобы найти sin(t), нам понадобится использовать тождество sin^2(t) + cos^2(t) = 1.
Подставим значение cos(t), которое мы только что нашли, и решим уравнение:
sin^2(t) + (2sin(t)/3)^2 = 1.
9sin^2(t) + 4sin^2(t) = 9.
13sin^2(t) = 9.
sin^2(t) = 9 / 13.
sin(t) = ± √(9/13).

Таким образом, мы нашли значения cos(t) и sin(t), которые мы можем использовать для вычисления cos(t+6п):
cos(t+6п) = (2sin(t) / 3) * cos(6п) - sin(t) * sin(6п).

Теперь осталось только вычислить это выражение, заменяя значения cos(6п) и sin(6п).
cos(6п) = cos(2п*3) = 1.
sin(6п) = sin(2п*3) = 0.

Подставив все значения в выражение, получим:
cos(t+6п) = (2sin(t) / 3) * 1 - sin(t) * 0 = 2sin(t) / 3.

Теперь давайте рассмотрим значение tg(t-3п).
Воспользуемся формулой разности для tg(t-u): tg(t-u) = (tg(t) - tg(u)) / (1 + tg(t)*tg(u)).
В данном случае u = 3п и t принадлежит промежутку от 3п/2.

Мы уже нашли значение tg(t) в предыдущем шаге, оно равно 3/2. Теперь нужно найти tg(u).

tg(u) = tg(3п) = 0.

Подставим эти значения в формулу разности:
tg(t-3п) = (3/2 - 0) / (1 + (3/2)*0) = 3/2.

Таким образом, мы нашли значения cos(t+6п), tg(t-3п) и sin(-t). Они равны соответственно:
cos(t+6п) = 2sin(t) / 3,
tg(t-3п) = 3/2,
sin(-t) = -√(9/13).

Надеюсь, эти подробные пояснения помогли вам разобраться с задачей! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!