Чему равны длины векторов u→+v→ и u→−v→, если векторы u→ и v→ перпендикулярны и длины векторов u→ и v→ составляют

Зарина

19

Для решения данной задачи нужно использовать свойства векторных операций и понимание перпендикулярности векторов. Давайте начнем с поиска длины вектора \( u + v \).

Первым шагом будем находить сумму векторов \( u \) и \( v \). Сумма двух векторов находится путем сложения их соответствующих координат. Так как мы знаем, что векторы \( u \) и \( v \) перпендикулярны, то их координаты будут составлять прямоугольный треугольник, где гипотенуза будет равна длине вектора \( u + v \), а катеты будут равны длинам векторов \( u \) и \( v \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника находим гипотенузу:
\[
(u + v)^2 = u^2 + v^2
\]

Подставляем данные в формулу:
\[
(u + v)^2 = 5^2 + 12^2
\]
\[
(u + v)^2 = 25 + 144
\]
\[
(u + v)^2 = 169
\]

Из уравнения мы получаем, что \( (u + v)^2 = 169 \). Чтобы найти длину вектора \( u + v \), нужно извлечь квадратный корень:
\[
|u + v| = \sqrt{169}
\]
\[
|u + v| = 13
\]

Таким образом, длина вектора \( u + v \) равна 13 см.

Теперь рассмотрим вектор \( u - v \).

Аналогично, вычитаем вектор \( v \) из вектора \( u \):
\[
(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2
\]

Подставляем данные:
\[
(u - v)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 + 12^2
\]
\[
(u - v)^2 = 25 - 120 + 144
\]
\[
(u - v)^2 = 49
\]

Как и раньше, нужно извлечь квадратный корень:
\[
|u - v| = \sqrt{49}
\]
\[
|u - v| = 7
\]

Таким образом, длина вектора \( u - v \) равна 7 см.

Итак, длина вектора \( u + v \) равна 13 см, а длина вектора \( u - v \) равна 7 см.