Чему равны гипотенуза, второй катет и проекция второго катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетом

Загадочный_Лес_1178

55

Давайте решим эту задачу!

У нас есть прямоугольный треугольник с катетом, равным 20, и его проекцией на гипотенузу. Давайте назовем гипотенузу \(c\), второй катет \(b\) и проекцию второго катета на гипотенузу \(h\).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующая формула:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

В нашем случае, один из катетов равен 20, поэтому формула примет вид:

\[20^2 + b^2 = c^2\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить для нахождения значения гипотенузы. Вычислим его:

\[400 + b^2 = c^2\]

Также нам дана проекция второго катета на гипотенузу. Пусть эта проекция равна \(h\). Зная это, мы можем написать еще одно соотношение между \(b\) и \(h\):

\[b = h\cdot c\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(400 + b^2 = c^2\) и \(b = h\cdot c\). Чтобы решить эту систему уравнений, давайте подставим второе уравнение в первое:

\[400 + (h\cdot c)^2 = c^2\]

Далее, разложим квадрат, чтобы получить:

\[400 + h^2\cdot c^2 = c^2\]

Теперь вычтем \(c^2\) из обеих частей уравнения:

\[400 + h^2\cdot c^2 - c^2 = 0\]

\[400 + h^2\cdot c^2 - 1\cdot c^2 = 0\]

\[400 + (h^2 - 1)\cdot c^2 = 0\]

Теперь мы можем выразить \(c^2\) через \(h^2 - 1\):

\[c^2 = \frac{-400}{h^2 - 1}\]

Отсюда, мы можем получить значения гипотенузы, второго катета и проекции второго катета на гипотенузу, используя подставнные значения \(h\) и \(c\).