Через центр полушара радиусом 2 проходит сечение, параллельное его основанию. Найдите объем (V) полного шарового пояса

Zvezdopad_Shaman

3

Шаровой пояс - это часть объема сферы, ограниченная двумя параллельными плоскостями, проходящими через его центр.

Для того, чтобы найти объем полного шарового пояса, нам нужно вычислить объем двух сегментов сферы и отнять один от другого.

1. Начнем с вычисления объема сферы полушара радиусом 2. Формула для объема сферы:

\[
V_{\text{полушара}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

где \( r \) - радиус полушара. Подставляем значение радиуса \( r = 2 \):

\[
V_{\text{полушара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 2^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32}{3} \pi
\]

2. Теперь найдем объем каждого сегмента сферы. Для этого мы должны найти высоту (h) каждого сегмента. В данной задаче сегменты параллельны основанию, поэтому высота каждого сегмента будет равна радиусу полушара, то есть \( h = 2 \).

Объем каждого сегмента сферы можно найти с помощью формулы:

\[
V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h)
\]

Подставляем значения \( h = 2 \) и \( r = 2 \):

\[
V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 (3 \cdot 2 - 2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3} \pi
\]

3. Теперь мы можем найти объем полного шарового пояса, вычтя объем одного сегмента от объема полушара:

\[
V_{\text{пояса}} = 2V_{\text{сегмента}} = 2 \cdot \frac{16}{3} \pi = \frac{32}{3} \pi
\]

4. Наконец, мы должны записать результат в виде \(\frac{3V_{\text{пояса}}}{\pi}\):

\[
\frac{3V_{\text{пояса}}}{\pi} = \frac{3 \cdot \frac{32}{3} \pi}{\pi} = 32
\]

Итак, объем полного шарового пояса равен 32. Это и есть ответ на задачу.