Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого одна из сторон основания равна 4 см, а угол между диагоналями

Иванович

61

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны использовать некоторые геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда.

1. Начнем с рассмотрения угла между диагоналями основания против стороны. У нас дан угол величиной -60°. Обратите внимание, что угол между диагоналями основания всегда является остроугольным, поэтому мы можем считать, что данный угол равен 60°.

2. Мы можем разделить прямоугольный параллелепипед на две прямые треугольные пирамиды, около оси, проходящей через диагональ основания. Одним из треугольников будет основанием нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, а другим - верхнее основание. Так как угол между диагоналями основания составляет 60°, то у нас будет прямой треугольник с углами 90°, 60° и 30°.

3. Мы знаем, что диагональ нижнего основания равна длине боковой грани прямоугольного параллелепипеда, то есть равна 4 см. Мы можем найти отношение сторон в треугольнике, используя тригонометрические соотношения. В данном случае, длина гипотенузы будет равна 4 см, а угол между гипотенузой и катетом будет 30°.

4. Применим тригонометрический закон косинусов для нахождения второго катета. Пусть x - длина второго катета треугольника. Тогда по теореме Пифагора получаем следующее уравнение: \(x^2 = 4^2 + x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos(30°)\).

5. Решим это уравнение. Подставим значения и решим полученное квадратное уравнение. Получим следующее: \(x^2 = 16 + x^2 - 8x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Упрощаем уравнение: \(0 = 16 - 4x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

6. Домножим обе части уравнения на \(\frac{2}{4}\) для упрощения: \(0 = 4 - x \sqrt{3}\). Теперь выразим x: \(x \sqrt{3} = 4\).

7. Для того, чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат: \(3x^2 = 16\). Решим уравнение: \(x^2 = \frac{16}{3}\). Теперь найдем значение x: \(x = \sqrt{\frac{16}{3}}\).

8. Подставим значение x в уравнение, чтобы получить длину третьего катета, у которого значение равно \(x = \sqrt{\frac{16}{3}}\).

9. Мы знаем, что объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = abc\), где a, b, c - длины его сторон. Подставим значения в нашей задаче и получим окончательный ответ.

В итоге, объем прямоугольного параллелепипеда, у которого одна из сторон основания равна 4 см, а угол между диагоналями основания против этой стороны составляет -60°, будет равен \(V = 4 \times \sqrt{\frac{16}{3}} \times \sqrt{\frac{16}{3}}\) см³. Рассчитав данное выражение, получим окончательный ответ объема прямоугольного параллелепипеда.