Через какие плоскости пересекает плоскость δmnk, если известны координаты точек m(−2; 2; 4), n(0; −1; 4) и k(3

Solnyshko

35

Для решения данной задачи мы можем использовать векторное произведение. Векторное произведение двух векторов даёт нам вектор, перпендикулярный обоим входным векторам.

Итак, нам известны координаты точек m(-2; 2; 4), n(0; -1; 4) и k(3; 5; 4). Чтобы найти плоскости, через которые пересекается плоскость δmnk, нам необходимо найти векторное произведение векторов mn и mk.

Поскольку вектор направлен из точки m в точку n, мы можем выразить вектор mn следующим образом:
\[\overrightarrow{mn} = \overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}\]
\[\overrightarrow{mn} = (0; -1; 4) - (-2; 2; 4)\]
\[= (0 + 2; -1 - 2; 4 - 4)\]
\[\overrightarrow{mn} = (2; -3; 0)\]

Аналогичным образом, мы можем выразить вектор mk:
\[\overrightarrow{mk} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{m}\]
\[\overrightarrow{mk} = (3; 5; 4) - (-2; 2; 4)\]
\[= (3 + 2; 5 - 2; 4 - 4)\]
\[\overrightarrow{mk} = (5; 3; 0)\]

Теперь мы можем вычислить векторное произведение векторов mn и mk:
\[\overrightarrow{mn} \times \overrightarrow{mk} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \end{vmatrix}\]

Давайте рассчитаем эту определительную формулу:
\[\overrightarrow{mn} \times \overrightarrow{mk} = (0 - 9; 0 - 0; 6 - 15)\]
\[\overrightarrow{mn} \times \overrightarrow{mk} = (-9; 0; -9)\]

Таким образом, у нас получился вектор (-9; 0; -9), который является вектором, перпендикулярным входным векторам mn и mk.

Теперь мы можем определить уравнение плоскости δmnk, используя известную точку m(-2; 2; 4) и найденный вектор (-9; 0; -9).

Уравнение плоскости записывается в виде:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - это координаты точки, принадлежащей плоскости, а A, B и C - компоненты вектора, перпендикулярного плоскости.

Подставив соответствующие значения в уравнение плоскости, получим:
-9(x + 2) + 0(y - 2) - 9(z - 4) = 0

Раскроем скобки и упростим это уравнение:
-9x - 18 - 9z + 36 = 0
-9x - 9z + 18 = 0

Таким образом, уравнение плоскости δmnk имеет вид -9x - 9z + 18 = 0.

Итак, плоскость δmnk пересекает плоскости xz и yz.