Расчет расстояния между центрами сфер, определенных уравнениями x2 + y2 + z2 + 6x - 2y - 4z = 5 и x2 + y2 + z2

Raduzhnyy_Sumrak

16

Для того чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти расстояние между центрами двух сфер. Центры сфер можно определить по формуле \(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\), где \(a, b, c\) - коэффициенты при \(x, y, z\) в уравнении сферы.

Итак, для первой сферы у нас есть уравнение \(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z = 5\). Мы можем определить центр этой сферы, найдя коэффициенты \(a, b, c\). Так как у нас есть коэффициенты при \(x, y, z\), равные 6, -2 и -4 соответственно, мы можем применить формулу и найти центр первой сферы.

Центр первой сферы:
\(x = -\frac{6}{2} = -3\)
\(y = -\frac{-2}{2} = 1\)
\(z = -\frac{-4}{2} = 2\)

То есть, центр первой сферы находится в точке (-3, 1, 2).

Аналогичным образом, для второй сферы с уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z\), мы находим центр второй сферы:

Центр второй сферы:
\(x = -\frac{-2}{2} = 1\)
\(y = -\frac{-6}{2} = 3\)
\(z = \frac{4}{2} = 2\)

Центр второй сферы находится в точке (1, 3, 2).

Теперь, чтобы найти расстояние между центрами сфер, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставляем значения координат центров сфер в формулу:

\[d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2 + (2 - 2)^2}\]

Выполняем вычисления:

\[d = \sqrt{(1 + 3)^2 + (3 - 1)^2 + (0)^2}\]
\[d = \sqrt{16 + 4 + 0}\]
\[d = \sqrt{20}\]

Таким образом, расстояние между центрами сфер равно \(\sqrt{20}\) или примерно 4.47 (в приближенном виде).

Таким образом, мы нашли расстояние между центрами сфер, определенных уравнениями \(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 4z = 5\) и \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z\).