Через какое время энергия колебаний математического маятника длиной 24,7 см, совершающего затухающие колебания

Tainstvennyy_Mag

49

Для начала, давайте разберемся с формулой для расчета периода колебаний \( T \) затухающего математического маятника:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k - \frac{d^2}{4m^2}}} \]

где:
\( m \) - масса груза на конце маятника,
\( k \) - коэффициент жесткости пружины,
\( d \) - коэффициент затухания.

У нас дана длина маятника \( L = 24,7 \) см, поэтому чтобы найти массу \( m \), мы можем использовать формулу для периода колебаний:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

где \( g \) - ускорение свободного падения, принимаем \( g = 9,8 \, \frac{м}{с^2} \) на Земле.

Мы знаем, что после некоторого времени энергия колебаний уменьшится на 9,4 раза. Это означает, что отношение энергий состояний до и после уменьшится на \( \frac{1}{9,4} \).

Для затухающего колебания энергия выражается формулой:

\[ E = E_0\exp(-2\pi\lambda t) \]

где \( E_0 \) - начальная энергия, \( \lambda \) - логарифмический декремент затухания, \( t \) - время.

Мы знаем, что при данном значении \( \lambda = 0,01 \), энергия уменьшается на \( \frac{1}{9,4} \), поэтому:

\[ \frac{E}{E_0} = \frac{1}{9,4} = \exp(-2\pi\lambda t) \]

Чтобы найти время \( t \), нам нужно решить это уравнение. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

\[ \ln\left(\frac{1}{9,4}\right) = -2\pi\lambda t \]

Теперь найдем время:

\[ t = -\frac{\ln\left(\frac{1}{9,4}\right)}{2\pi\lambda} \]