На скільки разів період обертання першого диска відрізняється від періоду обертання другого диска, якщо радіуси обох

Хрусталь

70

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для периода обращения \(T\) вращающегося объекта. Формула имеет вид:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Где \(\omega\) - угловая скорость вращения объекта.

Перейдём к анализу ситуации. У нас есть два диска с одинаковыми радиусами. Вопрос задачи заключается в различии периодов обращения дисков, при условии, что доцентровые ускорения точек на их окружностях имеют отношение 1:4.

Пусть \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения первого и второго дисков соответственно.

Мы знаем, что доцентровое ускорение \(a_c\) зависит от радиуса \(r\) и угловой скорости \(\omega\) следующим образом:

\[a_c = r \cdot \omega^2\]

Так как доцентровые ускорения точек на окружностях дисков имеют отношение 1:4, то мы можем записать следующее соотношение:

\[a_c^{(1)} : a_c^{(2)} = 1 : 4\]

Однако, ускорение \(a_c\) связано с угловой скоростью следующим образом:

\[a_c = \frac{4\pi^2r}{T^2}\]

Заменим в выражении значения для первого диска и во втором диске:

\[\frac{\left(\frac{4\pi^2r}{T_1^2}\right)}{\left(\frac{4\pi^2r}{T_2^2}\right)} = \frac{1}{4}\]

Упростим это выражение, умножив обе части на \(\frac{T_2^2}{4\pi^2r}\), и получим:

\[\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{4\pi^2r}{4\pi^2r}\]

Сократим справа и слева \(\frac{4\pi^2r}{4\pi^2r}\) и получим:

\[\frac{T_2^2}{T_1^2} = 1\]

Возведём это выражение в квадрат:

\[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = 1\]

Извлечём квадратный корень:

\[\frac{T_2}{T_1} = \pm 1\]

Исходя из условий задачи, период обращения не может быть отрицательным. Поэтому, возьмём только положительное значение:

\[\frac{T_2}{T_1} = 1\]

Таким образом, мы получаем, что период обращения двух дисков одинаков. Ответ: период обращения первого диска не отличается от периода обращения второго диска.