Через какое время все велосипедисты снова будут находиться в одной точке на кольцевой трассе, если они стартовали

Огонек

29

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится вычислить сначала скорости велосипедистов, а затем определить, когда они снова окажутся в одной точке на кольцевой трассе.

Для начала, давайте рассчитаем скорости каждого велосипедиста. Скорость можно определить как расстояние, пройденное велосипедистом, делённое на время данного пройденного расстояния. Так как скорости всех велосипедистов постоянны, для расчетов мы можем использовать следующую формулу:

\[ \text{{Скорость}} = \frac{{\text{{Расстояние}}}}{{\text{{Время}}}} \]

Мы знаем время, которое каждый велосипедист потратил на прохождение трассы (5 минут, 7 минут и 9 минут), но чтобы рассчитать их скорости, нам также необходимо знать расстояние кольцевой трассы.

Поскольку скорости всех велосипедистов постоянны и одинаковы, мы можем предположить, что один оборот кольцевой трассы равен одному расстоянию, пройденному первым велосипедистом за 5 минут. Предположим, что этот путь равен 1.

Теперь мы можем рассчитать скорости двух других велосипедистов:

Второй велосипедист:
\[ \text{{Скорость второго велосипедиста}} = \frac{1}{5} \]

Третий велосипедист:
\[ \text{{Скорость третьего велосипедиста}} = \frac{1}{7} \]

Теперь у нас есть скорости всех трёх велосипедистов.

Чтобы определить, через какое время все велосипедисты снова окажутся в одной точке, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) времен, потраченных каждым велосипедистом.

Наименьшее общее кратное (НОК) времен 5, 7 и 9 можно найти следующим образом:

\[ \text{{НОК}}(5, 7, 9) \]

Давайте найдём этот НОК:

Мы знаем, что:

\[ \text{{НОК}}(a, b, c) = \frac{{a \times b \times c}}{{\text{{НОД}}(a, b, c)}} \]

Где \(\text{{НОД}}\) обозначает наибольший общий делитель.

В нашем случае:

\[ \text{{НОК}}(5, 7, 9) = \frac{{5 \times 7 \times 9}}{{\text{{НОД}}(5, 7, 9)}} \]

Рассчитаем значение \(\text{{НОК}}(5, 7, 9)\):

Для начала, найдём наибольший общий делитель (НОД) для 5, 7 и 9. Самым простым способом деления является использование метода Эвклида:

\[
\begin{align*}
\text{{НОД}}(7, 9) &= \text{{НОД}}(7, 9 - 7) \\
\text{{НОД}}(7, 9) &= \text{{НОД}}(7, 2)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{{НОД}}(7, 2) &= \text{{НОД}}(7 - 2 \times 3, 2) \\
\text{{НОД}}(7, 2) &= \text{{НОД}}(1, 2)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\text{{НОД}}(1, 2) &= \text{{НОД}}(1, 2 - 1) \\
\text{{НОД}}(1, 2) &= \text{{НОД}}(1, 1)
\end{align*}
\]

Значит, НОД(5, 7, 9) = 1.

Теперь мы можем рассчитать НОК(5, 7, 9):

\[ \text{{НОК}}(5, 7, 9) = \frac{{5 \times 7 \times 9}}{{1}} = 315 \]

Таким образом, все велосипедисты снова окажутся в одной точке на кольцевой трассе через 315 минут (или 5 часов и 15 минут).