Какова длина третьей стороны треугольника, если две из его сторон равны 13 см и 3 корень из 75 см, а угол

Pyatno

52

Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Данная теорема позволяет нам найти длину одной из сторон треугольника, если известны длины двух других сторон и величина противолежащего угла.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина третьей стороны, \(a\) и \(b\) - длины двух известных сторон, \(C\) - противолежащий большей стороне угол.

В нашем случае, длины известных сторон даны: \(a = 13 \, \text{см}\) и \(b = 3 \sqrt{75} \, \text{см}\), а также значение угла \(C = 120^\circ\).

Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = (13 \, \text{см})^2 + (3 \sqrt{75} \, \text{см})^2 - 2 \cdot 13 \, \text{см} \cdot 3 \sqrt{75} \, \text{см} \cdot \cos(120^\circ)\]

Вычислив значения в скобках, получим:

\[c^2 = 169 \, \text{см}^2 + 675 \, \text{см}^2 - 78 \sqrt{75} \, \text{см}^2\]

Объединив сумму первых двух слагаемых, получим:

\[c^2 = 844 \, \text{см}^2 - 78 \sqrt{75} \, \text{см}^2\]

Мы знаем, что \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5 \sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу:

\[c^2 = 844 \, \text{см}^2 - 78 \cdot 5 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Далее упростим выражение:

\[c^2 = 844 \, \text{см}^2 - 390 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Чтобы найти значение \(c^2\), нам нужно вычислить число перед корнем и сам корень.

\[c^2 = 844 \, \text{см}^2 - 390 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \approx 644 \, \text{см}^2\]

Чтобы найти значение \(c\), возьмем квадратный корень из обеих частей:

\[c \approx \sqrt{644 \, \text{см}^2} \approx 25.37 \, \text{см}\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника примерно равна 25.37 см.