Числовая последовательность x1, x2, ..., xn задана рекуррентной формулой X1 = 1 и xk+1 = xk / xk+2 для k >

Сквозь_Песок

9

Давайте разберемся с этой задачей по порядку.

У нас есть числовая последовательность \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), которая задана рекуррентной формулой \(x_1 = 1\) и \(x_{k+1} = \frac{{x_k}}{{x_{k+2}}}\) для \(k \geq 1\). Мы должны найти значения \(x_2\), \(x_3\) и \(x_4\).

Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо последовательно применять данную рекуррентную формулу.

Первое значение \(x_1\) уже задано и равно 1. Далее вычислим значение \(x_2\):

\[x_2 = \frac{{x_1}}{{x_3}} = \frac{{1}}{{x_3}}\]

Для определения значения \(x_3\) мы должны использовать рекуррентную формулу с \(k = 1\):

\[x_3 = \frac{{x_2}}{{x_4}} = \frac{{\frac{{1}}{{x_3}}}}{{x_4}}\]

Теперь нам осталось определить значение \(x_4\). Для этого применяем рекуррентную формулу с \(k = 2\):

\[x_4 = \frac{{x_3}}{{x_5}} = \frac{{\frac{{\frac{{1}}{{x_3}}}}{{x_4}}}}{{x_5}}\]

Однако, нам необходимо значение \(x_5\), чтобы вычислить \(x_4\). Но оно не было предоставлено в задаче. Поэтому мы не можем определить значения \(x_2\), \(x_3\) и \(x_4\) точно.

Теперь, чтобы доказать индукцией, что \(x_n = \frac{{1}}{{2^{n-1}}}\) для всех \(n\), применим метод математической индукции.

Шаг базы: Для \(n = 1\) формула становится \(x_1 = \frac{{1}}{{2^0}} = 1\), что соответствует начальному значению \(x_1\). Шаг базы верен.

Шаг индукции: Предположим, что формула верна для \(n = k\), т.е. \(x_k = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}\). Теперь проверим, верно ли это для \(n = k+1\):

\[x_{k+1} = \frac{{x_k}}{{x_{k+2}}} = \frac{{\frac{{1}}{{2^{k-1}}}}}{{x_{k+2}}}\]

Мы должны показать, что \(\frac{{1}}{{2^{(k+1)-1}}} = \frac{{1}}{{2^k}}\) для \(x_{k+2}\), чтобы закончить доказательство индукции. Поэтому, доказывая шаг индукции, мы должны показать, что \(\frac{{1}}{{2^{k-1}}} = \frac{{1}}{{2^k}} \cdot x_{k+2}\).

Используя рекуррентную формулу \(x_{k+2} = \frac{{x_{k+1}}}{{x_k}}\) и предположение индукции \(x_k = \frac{{1}}{{2^{k-1}}}\), получаем:

\(\frac{{1}}{{2^k}} \cdot x_{k+2} = \frac{{1}}{{2^k}} \cdot \frac{{x_{k+1}}}{{x_k}} = \frac{{1}}{{2^k}} \cdot \frac{{\frac{{1}}{{2^k}}}}{{\frac{{1}}{{2^{k-1}}}}} = \frac{{1}}{{2^{k-1}}} = x_k\)

Таким образом, мы показали, что если формула верна для \(n = k\), то она также верна и для \(n = k+1\). Это завершает шаг индукции.

Таким образом, мы доказали по индукции, что \(x_n = \frac{{1}}{{2^{n-1}}}\) для всех \(n\).