Чому дорівнює скалярний добуток векторів АС і АК, якщо ребро куба ABCDA1B1C1D1 має довжину 4 і точка К є серединою

Котэ

58

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разобраться с определением скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Математически это можно записать следующим образом:

\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)\]

где \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) - векторы, \(|\vec{A}|\) и \(|\vec{B}|\) - их длины, а \(\theta\) - угол между векторами.

Теперь применим это определение к нашей задаче.

Вектор \(\vec{AC}\) можно представить как разность координат точек \(C\) и \(A\), то есть \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\). Аналогично, вектор \(\vec{AK}\) равен \(\vec{K} - \vec{A}\).

Так как точка \(K\) является серединой ребра \(CC_1\), то её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек \(C\) и \(C_1\). Так как координаты вершин куба заданы в задании, мы можем посчитать их значения.

Итак, точка \(K\) имеет координаты \((2, 2, 2)\).

Теперь найдём векторы \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\) и \(\vec{AK} = \vec{K} - \vec{A}\):

\(\vec{AC} = (2, 2, 2) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2)\)

\(\vec{AK} = (2, 2, 2) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2)\)

Теперь вычислим длины этих векторов:

\( |\vec{AC}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{12} \)

\( |\vec{AK}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{12} \)

Наконец, вычислим косинус угла \(\theta\) между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AK}\):

\(\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AK}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AK}|}\)

\(\vec{AC} \cdot \vec{AK} = (2, 2, 2) \cdot (2, 2, 2) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12\)

Таким образом, имеем:

\(\cos(\theta) = \frac{12}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}} = \frac{12}{12} = 1\)

И, наконец, скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AK}\) равно:

\(\vec{AC} \cdot \vec{AK} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AK}| \cdot \cos(\theta) = \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} \cdot 1 = 12\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AK}\) равно 12.