Что будет результатом упрощения выражения: sin(4a)*sin(5a) + cos(9a)?

Marina_6988

48

Для того чтобы упростить выражение \(\sin(4a) \cdot \sin(5a) + \cos(9a)\), нам понадобится использовать формулы тригонометрии и свойства синуса и косинуса.

1. Начнем с результата произведения синусов: \(\sin(x) \cdot \sin(y) = \frac{1}{2} \left[ \cos(x-y) - \cos(x+y) \right]\).
Применим эту формулу к нашему выражению:

\(\sin(4a) \cdot \sin(5a) = \frac{1}{2} \left[ \cos(4a-5a) - \cos(4a+5a) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos(-a) - \cos(9a) \right] = \frac{\cos(a) - \cos(9a)}{2}\).

2. Теперь запишем упрощенное выражение:

\(\frac{\cos(a) - \cos(9a)}{2} + \cos(9a)\).

3. Для удобства объединим дробь и косинус через общий знаменатель. Умножим \(\cos(9a)\) на \(\frac{2}{2}\), чтобы привести к общему знаменателю:

\(\frac{\cos(a) - \cos(9a)}{2} + \frac{2 \cdot \cos(9a)}{2} = \frac{\cos(a) - \cos(9a) + 2 \cdot \cos(9a)}{2}\).

4. Теперь объединим подобные слагаемые в числителе:

\(\frac{\cos(a) + \cos(9a)}{2}\).

Итак, результат упрощения выражения \(\sin(4a) \cdot \sin(5a) + \cos(9a)\) равен \(\frac{\cos(a) + \cos(9a)}{2}\).