Что будет результатом вычисления sin(a+b)-9cos(а), если известно, что sin(a)=12/13, а cos(b)=3/5?

Чудесный_Король

58

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу синуса и косинуса суммы двух углов.

Формула синуса суммы двух углов:

\[\sin(a+b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b)\]

Из условия задачи нам известно, что \(\sin(a) = \frac{12}{13}\) и \(\cos(b) = \frac{3}{5}\).

Теперь рассмотрим формулу для вычисления \(\cos(a)\). Воспользуемся формулой косинуса, где:

\[\cos^{2}(a) = 1 - \sin^{2}(a)\]

Подставим известное значение \(\sin(a) = \frac{12}{13}\) и решим уравнение:

\[\cos^{2}(a) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^{2}\]
\[\cos^{2}(a) = 1 - \frac{144}{169}\]
\[\cos^{2}(a) = \frac{169 - 144}{169}\]
\[\cos^{2}(a) = \frac{25}{169}\]

Так как \(\cos(a) > 0\), мы можем взять положительный корень:

\[\cos(a) = \frac{5}{13}\]

Теперь подставляем все полученные значения обратно в исходное выражение:

\(\sin(a+b) - 9 \cos(a) = \left(\frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5}\right) - 9 \cdot \frac{5}{13}\)

Выполняем простые вычисления:

\[\left(\frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5}\right) - 9 \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{45}{13}\]

Для удобства оперируем дробями:

\[\frac{36}{65} - \frac{45}{13} = \frac{36}{65} - \frac{45}{13} \cdot \frac{5}{5}\]
\[\frac{36}{65} - \frac{225}{65} = \frac{36 - 225}{65}\]
\[\frac{-189}{65} = -\frac{189}{65}\]

Таким образом, результат вычисления будет \( -\frac{189}{65} \).