Какое двузначное число имеет сумму цифр, которая на 19 меньше их произведения?

Зимний_Сон

21

Давайте разберемся в этой задаче. Пусть двузначное число состоит из цифр десятков (назовем ее \(a\)) и единиц (назовем ее \(b\)). По условию задачи, мы знаем, что сумма этих двух цифр на 19 меньше, чем их произведение.

Таким образом, у нас есть уравнение:
\[a + b = ab - 19\]

Наша задача - найти двузначное число, удовлетворяющее этому уравнению. Давайте решим его.

Первым шагом, мы можем переписать уравнение в виде:
\[ab - a - b = 19\]

Затем, мы можем воспользоваться методом факторизации, чтобы представить левую часть уравнения в виде произведения двух скобок:

\[ab - a - b = (a - 1)(b - 1)\]

Теперь у нас есть следующее уравнение:
\[(a - 1)(b - 1) = 19\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти все пары целых чисел \(a - 1\) и \(b - 1\), которые имеют произведение 19. Давайте рассмотрим такие пары:

\[
\begin{align*}
a - 1 &= 1, \quad b - 1 = 19 \\
a - 1 &= 19, \quad b - 1 = 1 \\
a - 1 &= -1, \quad b - 1 = -19 \\
a - 1 &= -19, \quad b - 1 = -1 \\
\end{align*}
\]

Решим каждую пару:

\[
\begin{align*}
a - 1 &= 1, \quad a = 2, \quad b = 20 \\
a - 1 &= 19, \quad a = 20, \quad b = 2 \\
a - 1 &= -1, \quad a = 0, \quad b = -18 \quad \text{\textbf{(не может быть, так как число должно быть двузначным)}} \\
a - 1 &= -19, \quad a = -18, \quad b = 0 \quad \text{\textbf{(не может быть, так как число должно быть двузначным)}} \\
\end{align*}
\]

Итак, мы нашли два подходящих двузначных числа: 20 и 2.

Таким образом, ответ на задачу: числом, у которого сумма цифр на 19 меньше их произведения, является число 20 или 2.