Что будет являться пределом lim при y→0, x→0, u=x^3-y/x^3+y?

Янтарка_5553

17

Для того чтобы найти предел функции, когда \(y\) стремится к 0, а \(x\) стремится к 0, нам потребуется использовать правило Лопиталя. Давайте разберем это пошагово.

Итак, у нас есть данная функция:

\[u = \frac{x^3 - y}{x^3 + y}\]

Перед тем, как мы применим правило Лопиталя, давайте рассмотрим, что происходит, когда \(x\) и \(y\) стремятся к 0.

Когда \(x\) и \(y\) стремятся к 0, числитель \(x^3 - y\) также стремится к 0, а знаменатель \(x^3 + y\) также стремится к 0. Значит, наша функция представляет неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).

А теперь применим правило Лопиталя.

Правило Лопиталя гласит, что если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) оба стремятся к 0 или бесконечности при \(x\) стремящемся к \(a\), и производные этих функций \(f"(x)\) и \(g"(x)\) существуют и \(g"(x) \neq 0\) на некоторой окрестности точки \(a\), то предел отношения \(\frac{f"(x)}{g"(x)}\) равен пределу отношения \(\frac{f(x)}{g(x)}\).

Применяя это правило к нашей функции, мы должны найти производные числителя и знаменателя функции \(u\) и затем вычислить предел отношения производных.

Давайте найдем производные.

\[u" = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3 - y}{x^3 + y}\right)\]
\[u" = \frac{(x^3 + y)(3x^2) - (x^3 - y)(3x^2)}{(x^3 + y)^2}\]
\[u" = \frac{6x^5}{(x^3 + y)^2}\]

После нахождения производных числителя и знаменателя, мы можем применить правило Лопиталя еще раз, чтобы найти предел.

\[lim_{(y \rightarrow 0)} lim_{(x \rightarrow 0)} \frac{u"}{1}\]

Подставим найденное значение производной \(u"\) в предел:

\[lim_{(y \rightarrow 0)} lim_{(x \rightarrow 0)} \frac{\frac{6x^5}{(x^3 + y)^2}}{1}\]

Теперь упростим выражение:

\[lim_{(y \rightarrow 0)} lim_{(x \rightarrow 0)} \frac{6x^5}{(x^3 + y)^2}\]

Обратите внимание, что при подстановке \(x = 0\) в числитель, получим \(0^5 = 0\), а знаменатель будет равен \((0^3 + y)^2 = y^2\).

Таким образом, получим:

\[lim_{(y \rightarrow 0)} \frac{0}{y^2}\]

Итак, предел равен 0.

Таким образом, предел функции \(u = \frac{x^3 - y}{x^3 + y}\), когда \(y\) стремится к 0 и \(x\) стремится к 0, равен 0.