Что известно о сторонах треугольника abc, если ac = 5/2 см, угол b = 45° и угол c = 30°? Найдите длину стороны

Aleksandrovna

65

Для решения данной задачи нам понадобится использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Давайте разберемся пошагово:

1. Угол b равен 45°. Это говорит нам о том, что треугольник ABC является прямоугольным, так как мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

2. Угол c равен 30°. Мы можем заметить, что угол c является углом противоположным стороне ac.

3. Треугольник ABC может быть разделён на два прямоугольных треугольника: ABC и ACD.

4. Для прямоугольного треугольника ACD, у которого гипотенуза ac = 5/2 см и угол c = 30°, мы можем использовать соотношения синусов:
\(\sin(c) = \frac{{AC}}{{ACD}}\)
Подставив известные значения, получим:
\(\sin(30°) = \frac{{AC}}{{\frac{5}{2}}}\)
Раскрывая синус 30° как \(\frac{1}{2}\), получаем:
\(\frac{1}{2} = \frac{{AC}}{{\frac{5}{2}}}\)
Умножаем обе стороны на \(\frac{5}{2}\), чтобы избавиться от дроби:
\(AC = \frac{5}{4}\) см.

5. Так как угол b = 45°, то треугольник ABC является прямоугольным, а следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны ab:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Подставляем известные значения:
\(AB^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 + BC^2\)
Возводим в квадрат:
\(AB^2 = \frac{25}{16} + BC^2\)

6. Нам неизвестна сторона BC, но мы знаем, что треугольник ABC является прямоугольным с углом b = 45°. Значит, сторона BC равняется стороне AC, то есть \(BC = \frac{5}{4}\) см.

7. Подставим значение BC в уравнение:
\(AB^2 = \frac{25}{16} + \left(\frac{5}{4}\right)^2\)
\(AB^2 = \frac{25}{16} + \frac{25}{16}\)
\(AB^2 = \frac{50}{16}\)

8. Найдем квадратный корень от обеих сторон, чтобы получить значение стороны AB:
\(AB = \sqrt{\frac{50}{16}}\)

9. Упрощая под корнем:
\(AB = \sqrt{\frac{25}{8}}\)

10. Приведем дробь к общему знаменателю:
\(AB = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2}}\)
\(AB = \sqrt{\frac{50}{16}}\)

11. Вспоминая, что корень из дроби равен корню из числителя, поделим числитель и знаменатель на общий делитель - 2:
\(AB = \sqrt{\frac{25}{8}}\)
\(AB = \frac{5}{\sqrt{8}}\)

12. Упростим корень под знаком:
\(AB = \frac{5}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}}\)
\(AB = \frac{5}{2 \sqrt{2}}\)

Таким образом, длина стороны ab треугольника abc равна \(\frac{5}{{2 \sqrt{2}}}\) см (или примерно 1,77 см, округленно до сотых).