Что нужно найти, если идеальная тепловая машина передает холодильнику 80% теплоты, получаемой от нагревателя

Karamelka

70

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется применить первый закон термодинамики для идеальной тепловой машины.

Первый закон термодинамики гласит, что изменение внутренней энергии системы равно работе, сделанной над системой, плюс тепло, переданное системе. В математической форме это выглядит так:

\[\Delta U = Q - W\]

Где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы, \(Q\) - тепло, переданное системе, и \(W\) - работа, сделанная над системой.

Мы знаем, что идеальная тепловая машина передает холодильнику 80% теплоты, получаемой от нагревателя. Это означает, что \(80\%\) теплоты, полученной от нагревателя (\(Q_1\)), будет передано холодильнику (\(Q_2\)). Таким образом, мы можем записать это в виде уравнения:

\(Q_2 = 0.8 \cdot Q_1\)

Далее, тепловая машина работает между двумя теплообменниками при разных температурах. Первый теплообменник (нагреватель) имеет температуру, которую мы обозначим как \(T_1\), а второй теплообменник (холодильник) имеет температуру \(T_2\). В нашей задаче, температура холодильника составляет 248K (\(T_2 = 248K\)).

Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно, что означает, что эффективность машины равна отношению разности температур теплообменников к температуре нагревателя. Мы можем записать это в виде уравнения:

\(\eta = \frac{{T_1 - T_2}}{{T_1}}\)

Тампература нагревателя, \(T_1\), является неизвестной величиной, которую мы должны найти.

Теперь мы можем воспользоваться энергетическим балансом тепловой машины, применяя первый закон термодинамики.

Тепло, полученное от нагревателя (\(Q_1\)), равно работе, сделанной над системой (\(W\)), плюс тепло, переданное холодильнику (\(Q_2\)). Мы можем записать это в виде уравнения:

\(Q_1 = Q_2 + W\)

Так как мы знаем, что \(Q_2 = 0.8 \cdot Q_1\), мы можем заменить \(Q_2\) в уравнении и получить:

\(Q_1 = 0.8 \cdot Q_1 + W\)

Теперь нам нужно найти работу, сделанную над системой (\(W\)). Мы знаем, что эффективность машины (\(\eta\)) равна \(\frac{{T_1 - T_2}}{{T_1}}\).

Тепло, полученное от нагревателя (\(Q_1\)), равно эффективности машины (\(\eta\)) умноженной на полученное тепло от нагревателя (\(Q_1\)):

\(Q_1 = \eta \cdot Q_1\)

Теперь мы можем заменить \(Q_1\) в уравнении для работы (\(W\)):

\(\eta \cdot Q_1 = 0.8 \cdot \eta \cdot Q_1 + W\)

Выразим работу (\(W\)):

\(W = \eta \cdot Q_1 - 0.8 \cdot \eta \cdot Q_1\)

\(W = 0.2 \cdot \eta \cdot Q_1\)

Теперь подставим эту формулу для работы (\(W\)) в уравнение энергетического баланса:

\(Q_1 = 0.8 \cdot Q_1 + 0.2 \cdot \eta \cdot Q_1\)

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(Q_1\), на одну сторону:

\(Q_1 - 0.8 \cdot Q_1 - 0.2 \cdot \eta \cdot Q_1 = 0\)

Вынесем \(Q_1\) за скобку:

\(Q_1 \cdot (1 - 0.8 - 0.2 \cdot \eta) = 0\)

Учитывая, что \(1 - 0.8 - 0.2 \cdot \eta = 0\), получаем:

\(0 = 0\)

Однако, данное уравнение даёт нам тривиальный результат. Получается, что \(Q_1\) может быть любым числом, так как оно исчезает из уравнения. Таким образом, мы не можем точно найти значение \(Q_1\) только с данными, предоставленными в задаче.

В итоге, ответ на задачу - мы не можем определить значение теплоты, получаемой от нагревателя (\(Q_1\)).