Что нужно найти, это площадь области, ограниченной графиками данных функций: у=х2-2х+2; х=1; х=2

Sonechka

67

Хорошо, давайте начнем с анализа данной задачи.

У нас есть три графика функций: \(y = x^2 - 2x + 2\), \(x = 1\) и \(x = 2\). Задача заключается в нахождении площади области, ограниченной этими графиками.

Для начала, построим график функции \(y = x^2 - 2x + 2\) для лучшего понимания ситуации.

\[
\begin{{array}}{{ c }}
\text{{График функции }} y = x^2 - 2x + 2 \\
\end{{array}}
\]

\[
\begin{{array}}{{ c }}
\begin{{array}}{{ccc}}
x & | & y \\
\end{{array}} \\
\hline
\begin{{array}}{{ccc}}
-2 & | & 10 \\
-1 & | & 5 \\
0 & | & 2 \\
1 & | & 1 \\
2 & | & 2 \\
\end{{array}} \\
\end{{array}}
\]

Теперь, посмотрим на графики \(x = 1\) и \(x = 2\). Оба графика представляют собой вертикальные линии, проходящие через точки \(x = 1\) и \(x = 2\) соответственно.

Итак, нам нужно найти площадь области, ограниченной графиками этих трех функций. Поскольку функция \(y = x^2 - 2x + 2\) определяет границу области, мы будем исследовать только ту область, которая находится под этим графиком.

Чтобы найти площадь этой области, мы должны разделить ее на несколько частей и вычислить площадь каждой части. В данном случае, область ограничена двумя вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 2\), поэтому мы должны вычислить площадь между этими двуми вертикальными линиями и графиком функции \(y = x^2 - 2x + 2\).

Мы можем это сделать, вычислив интеграл от \(x = 1\) до \(x = 2\) от функции \(y = x^2 - 2x + 2\) по переменной \(x\).

\[
\begin{{array}}{{ c }}
\text{{Площадь области }} A = \int_{{1}}^{{2}} (x^2 - 2x + 2) \,dx \\
\end{{array}}
\]

Проинтегрируем это выражение.

\[
\begin{{array}}{{ c }}
A = \left[ \frac{{x^3}}{3} - x^2 + 2x \right]_{{1}}^{{2}} \\
\end{{array}}
\]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования.

\[
\begin{{array}}{{ c }}
A = \left( \frac{{2^3}}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{{1^3}}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right) \\
\end{{array}}
\]

Произведем все вычисления.

\[
\begin{{array}}{{ c }}
A = \left( \frac{{8}}{3} - 4 + 4 \right) - \left( \frac{{1}}{3} - 1 + 2 \cdot 1 \right) \\
A = \frac{{8}}{3} \\
\end{{array}}
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций \(y = x^2 - 2x + 2\), \(x = 1\) и \(x = 2\), равна \(\frac{{8}}{3}\).

Я надеюсь, данное решение понятно и обосновано для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.