Каково количество корней у уравнения x^4-4x^3-9=0?

Яблонька_3392

45

Чтобы найти количество корней у данного уравнения \(x^4-4x^3-9=0\), мы можем использовать теорему о количестве корней многочлена.

Согласно этой теореме, количество корней многочлена равно его степени с учетом кратности корней. В данном случае степень многочлена равна 4, так как самая высокая степень переменной \(x\) в уравнении - 4.

Для определения кратности корней, мы можем воспользоваться производной многочлена. Если корень имеет кратность \(k\), то он будет иметь \(k\) совпадающих значений в производной многочлена. Иначе говоря, если \(x\) - корень с кратностью \(k\), то \(x\) будет также являться корнем производной многочлена \(k-1\) раз.

Давайте найдем производную от многочлена \(x^4-4x^3-9\):

\[
\frac{{d}}{{dx}} (x^4-4x^3-9) = 4x^3 - 12x^2
\]

Теперь мы можем решить уравнение производной многочлена для определения возможных корней с кратностью больше 1:

\[
4x^3 - 12x^2 = 0
\]

Факторизуя этот многочлен, мы получаем:

\[
4x^2(x-3) = 0
\]

Из этого уравнения мы можем найти два корня с кратностью 1: \(x = 0\) и \(x = 3\).

Остается найти корни самого исходного уравнения \(x^4-4x^3-9=0\) и определить их кратности.

Для этого мы можем воспользоваться графическим методом или численными методами, например, методом Ньютона.

Если мы аппроксимируем график уравнения \(x^4-4x^3-9=0\), то мы можем увидеть, что он пересекает ось абсцисс в двух точках, что означает наличие двух дополнительных корней.

Таким образом, исходное уравнение \(x^4-4x^3-9=0\) имеет 4 корня.

Виды корней:
- Корень \(x = 0\) с кратностью 1.
- Корень \(x = 3\) с кратностью 1.
- Два дополнительных корня с неизвестными значениями.

Надеюсь, вам будет полезно такое подробное объяснение! Если у вас возникнут еще вопросы или трудности, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!