Что нужно найти в прямоугольном треугольнике ABC, если угол C равен 90°, угол B равен 60°, а сторона AC равна 4√3?

Магический_Замок

69

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках. Учитывая, что угол B равен 60° и угол C равен 90°, мы можем использовать теорему синусов и косинусов.

1. Найдем значение угла A, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения длин сторон треугольника:
\[
\frac{{AC}}{{\sin{A}}} = \frac{{BC}}{{\sin{C}}}
\]

Заметим, что \(\sin{A} = \sin{30°}\) и \(\sin{C} = \sin{90°}\), и по определению \(\sin{90°} = 1\). Таким образом, уравнение становится:
\[
\frac{{AC}}{{\sin{30°}}} = \frac{{BC}}{{1}}
\]

Упрощая, мы получаем:
\[
BC = AC \cdot \sin{30°}
\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[
BC = 4\sqrt{3} \cdot \sin{30°} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}
\]

Таким образом, длина стороны BC равна \(2\sqrt{3}\).

3. Поскольку мы знаем длины всех трех сторон треугольника ABC, мы можем также использовать теорему Пифагора для нахождения длины третьей стороны AB:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[
AB^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 48 + 12 = 60
\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем:
\[
AB = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}
\]

Таким образом, длина стороны AB равна \(2\sqrt{15}\).

Итак, в прямоугольном треугольнике ABC со стороной AC равной \(4\sqrt{3}\), углом B равным 60° и углом C равным 90°, длины сторон BC и AB равны соответственно \(2\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{15}\).