Что нужно найти в треугольнике ABC, если известно, что AB = 10, AC = 13 и cos(∠A) = 0.65?

Schelkunchik

2

Чтобы найти неизвестные значения в треугольнике ABC, мы будем использовать Закон косинусов и Закон синусов. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдем длину стороны BC.
Из Закона косинусов мы знаем, что:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)\]

Подставляя значения AB = 10, AC = 13, и cos(∠A) = 0.65, получаем:
\[BC^2 = 10^2 + 13^2 - 2 \cdot 10 \cdot 13 \cdot 0.65\]
\[BC^2 = 100 + 169 - 169\]
\[BC^2 = 100\]

Извлечем квадратный корень с обоих сторон:
\[BC = \sqrt{100} = 10\]

Таким образом, сторона BC равна 10.

Шаг 2: Найдем углы треугольника ABC.
Из Закона косинусов мы также можем найти косинусы других углов.
Используя ту же формулу, но для других сторон и углов, получим следующее:
\[cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\]
\[cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}\]

Подставляя значения AB = 10, BC = 10, AC = 13, получаем:
\[cos(\angle B) = \frac{10^2 + 10^2 - 13^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{100 + 100 - 169}{200} = -\frac{69}{200}\]
\[cos(\angle C) = \frac{13^2 + 10^2 - 10^2}{2 \cdot 13 \cdot 10} = \frac{169 + 100 - 100}{260} = \frac{169}{260} = \frac{13}{20}\]

Шаг 3: Найдем остальные неизвестные значения.
Из Закона синусов мы можем выразить соответствующие стороны через синусы углов:
\[\frac{AB}{\sin(\angle A)} = \frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Мы уже знаем длины сторон AB, BC и AC, а также значение cos(∠A) = 0.65 для нахождения синуса, воспользуемся тождеством \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\).

\[\sin^2(\angle A) = 1 - \cos^2(\angle A) = 1 - (0.65)^2 = 0.5875\]
\[\sin(\angle A) = \sqrt{0.5875} \approx 0.766\]

Подставим эти значения и найдем остальные стороны:
\[\frac{10}{0.766} = \frac{10}{\sin(\angle B)} \implies \sin(\angle B) = \frac{10}{0.766} \approx 13.06\]
\[\frac{13}{20} = \frac{10}{\sin(\angle C)} \implies \sin(\angle C) = \frac{20 \cdot 13}{10} = 26\]

Теперь у нас есть все неизвестные значения:
Сторона BC = 10
Синусы углов:
\(\sin(\angle A) \approx 0.766\)
\(\sin(\angle B) \approx 13.06\)
\(\sin(\angle C) = 26\)