Что нужно найти в треугольнике с основанием длиной 10 см, углом при основании 45 градусов и противолежащим основанию

Sofiya

44

Для ответа на вашу задачу, мы можем использовать основные свойства треугольника и тригонометрию.

Итак, у нас есть треугольник с основанием длиной 10 см. Пусть это основание будет стороной \(a\).

У нас также есть два известных угла. Угол при основании равен 45 градусов \((\angle B)\), а угол противолежащий основанию равен 60 градусов \((\angle C)\).

Чтобы найти остальные стороны треугольника, мы можем использовать основной тригонометрический закон - теорему синусов. Эта теорема устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника.

Теорема синусов гласит:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\) и \(C\) - соответствующие им углы.

В нашем случае, мы знаем сторону \(a\) (основание треугольника) равной 10 см. Угол \(A\) равен 180 градусов - (\(A = 180^\circ - B - C\)), так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Теперь мы можем подставить значения в формулу теоремы синусов и найти другие стороны треугольника:

\[\frac{10}{\sin 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}\]

Далее, мы можем использовать таблицу значений синусов, чтобы найти значение синуса 75 градусов.

Согласно таблице, \(\sin 75^\circ \approx 0.9659\).

Подставляем значение синуса в формулу:

\[\frac{10}{0.9659}\]

Вычисляем значение:

\[\frac{10}{0.9659} \approx 10.34\]

Итак, сторона \(c\) треугольника равна примерно 10.34 см.

Теперь, чтобы найти оставшуюся сторону треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Эта теорема связывает сторону и угол треугольника с косинусом этого угла.

Теорема косинусов формулируется следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(C\) - соответствующий угол.

Мы знаем стороны \(a\) и \(c\), а также угол \(C\) (60 градусов). Подставим значения в формулу и решим ее:

\[10.34^2 = 10^2 + b^2 - 2\cdot 10 \cdot b \cos 60^\circ\]

\[106.8356 = 100 + b^2 - 20b \cdot \frac{1}{2}\]

\[106.8356 = 100 + b^2 - 10b\]

\[b^2 - 10b + 6.8356 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя квадратное уравнение.

\[b = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6.8356}}{2 \cdot 1}\]

\[b = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 27.3424}}{2}\]

\[b = \frac{10 \pm \sqrt{72.6576}}{2}\]

\[b \approx \frac{10 \pm 8.523}{2}\]

Итак, с учетом положительного значения бескореневого (при отрицательном значении бескорневого сторона треугольника буде отрицательной), мы получаем:

\[b \approx \frac{10 + 8.523}{2} = \frac{18.523}{2} \approx 9.2615\]

Таким образом, оставшаяся сторона \(b\) треугольника равна примерно 9.26 см.

Итак, в заданном треугольнике со стороной основания равной 10 см и углом при основании 45 градусов, противолежащий основанию угол равен 60 градусов. Длина другой стороны треугольника составляет около 10.34 см, а длина оставшейся стороны приближенно равна 9.26 см.