Если один из углов, образуемых диагоналями ромба и его стороной, в два раза меньше другого, то какова длина меньшей

Kosmos

37

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

Пусть сторона ромба равна $a$, а меньшая диагональ равна $x$. Мы должны найти значение $x$ при известном периметре ромба.

Периметр ромба равен сумме всех его сторон. У нас есть две диагонали и четыре стороны одинаковой длины.

Таким образом, сумма длин сторон будет равна $4a$.

Мы знаем, что один из углов, образуемых диагоналями ромба и его стороной, в два раза меньше другого. Пусть больший угол равен $\theta$ градусов. Тогда меньший угол будет равен $\frac{1}{2}\theta$ градусов.

Поскольку углы треугольника, образованного диагоналями и стороной, в сумме равны $180$ градусов, мы можем записать уравнение:

$\theta +\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{2}\theta =180$

Упростим это уравнение:

$2\theta +\theta =180$

$3\theta =180$

$\theta =\frac{180}{3}=60$ градусов.

Теперь у нас есть больший угол $\theta$, и мы можем использовать синус, чтобы найти отношение сторон треугольника.

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае гипотенуза - это сторона ромба, равная $a$, и противолежащая сторона - это половина диагонали, равная $\frac{x}{2}$.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

$\sin (\theta )=\frac{\frac{x}{2}}{a}$

Теперь найдем значение синуса угла $60$ градусов. Величина синуса $60$ градусов равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в уравнение и решим его относительно $x$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{x}{2}}{a}$

Умножим обе части уравнения на $2a$:

$\sqrt{3}a=x$

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна $\sqrt{3}a$.

Мы рассмотрели описание и решение данной задачи шаг за шагом с необходимыми объяснениями и обоснованиями. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!