Если один из углов, образуемых диагоналями ромба и его стороной, в два раза меньше другого, то какова длина меньшей

Kosmos

37

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

Пусть сторона ромба равна \(a\), а меньшая диагональ равна \(x\). Мы должны найти значение \(x\) при известном периметре ромба.

Периметр ромба равен сумме всех его сторон. У нас есть две диагонали и четыре стороны одинаковой длины.

Таким образом, сумма длин сторон будет равна \(4a\).

Мы знаем, что один из углов, образуемых диагоналями ромба и его стороной, в два раза меньше другого. Пусть больший угол равен \(\theta\) градусов. Тогда меньший угол будет равен \(\frac{1}{2}\theta\) градусов.

Поскольку углы треугольника, образованного диагоналями и стороной, в сумме равны \(180\) градусов, мы можем записать уравнение:

\(\theta + \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2}\theta = 180\)

Упростим это уравнение:

\(2\theta + \theta = 180\)

\(3\theta = 180\)

\(\theta = \frac{180}{3} = 60\) градусов.

Теперь у нас есть больший угол \(\theta\), и мы можем использовать синус, чтобы найти отношение сторон треугольника.

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае гипотенуза - это сторона ромба, равная \(a\), и противолежащая сторона - это половина диагонали, равная \(\frac{x}{2}\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(\sin(\theta) = \frac{\frac{x}{2}}{a}\)

Теперь найдем значение синуса угла \(60\) градусов. Величина синуса \(60\) градусов равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставим это значение в уравнение и решим его относительно \(x\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{x}{2}}{a}\)

Умножим обе части уравнения на \(2a\):

\(\sqrt{3}a = x\)

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна \(\sqrt{3}a\).

Мы рассмотрели описание и решение данной задачи шаг за шагом с необходимыми объяснениями и обоснованиями. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!