Что представляет собой результат выражения (9-z²)/(5z-10) / (z²-4z+4)/(6+2z)?

Rys

45

Давайте разберемся с данной задачей. У нас есть выражение \(\frac{{9-z^2}}{{5z-10}}\) поделенное на \(\frac{{z^2-4z+4}}{{6+2z}}\).

Первым шагом нам нужно упростить каждую из дробей в отдельности. Для этого мы начнем с первой дроби \(\frac{{9-z^2}}{{5z-10}}\):

1. Факторизуем числитель и знаменатель этой дроби:
Числитель: \(9 - z^2\) можно факторизовать как \((3+z)(3-z)\).
Знаменатель: \(5z-10\) можно факторизовать как \(5(z-2)\).
После факторизации, наша первая дробь будет иметь вид: \(\frac{{(3+z)(3-z)}}{{5(z-2)}}\).

2. Перейдем ко второй дроби \(\frac{{z^2-4z+4}}{{6+2z}}\):
Факторизуем числитель этой дроби. Можно заметить, что \(z^2 - 4z + 4\) представляет собой квадрат суммы. И мы можем записать его как \((z - 2)^2\).
Знаменатель не требует факторизации.
После факторизации, наша вторая дробь будет иметь вид: \(\frac{{(z-2)^2}}{{6+2z}}\).

Теперь, когда мы упростили каждую из дробей, мы можем продолжить вычисления:

\(\frac{{(3+z)(3-z)}}{{5(z-2)}} \div \frac{{(z-2)^2}}{{6+2z}}\).

Мы можем упростить деление дробей, изменив его на умножение на обратное значение:

\(\frac{{(3+z)(3-z)}}{{5(z-2)}} \cdot \frac{{6+2z}}{{(z-2)^2}}\).

Теперь мы можем сократить некоторые общие множители:

\(\frac{{(3+z)\cancel{{(3-z)}}}}{{5\cancel{{(z-2)}}}} \cdot \frac{{6+2z}}{{\cancel{{(z-2)}}^2}}\).

В итоге, получаем:

\(\frac{{(3+z)(6+2z)}}{{5(z-2)}}\).

Таким образом, результат выражения \(\frac{{9-z^2}}{{5z-10}} \div \frac{{z^2-4z+4}}{{6+2z}}\) равен \(\frac{{(3+z)(6+2z)}}{{5(z-2)}}\).

Мы упростили данное выражение до ее наименее сложной формы, учитывая факторизацию числителя и знаменателя, а также упрощение общих множителей.