Что представляет собой свободный член выражения (х - 4/х)^6​?

Вихрь

28

Спасибо за ваш вопрос! Чтобы понять, что представляет собой свободный член выражения \((x - \frac{4}{x})^6\), давайте посмотрим на общую структуру бинома, из которого оно состоит.

Выражение \((a+b)^n\) представляет собой бином Ньютона и может быть разложено с использованием биномиального коэффициента. Биномиальный коэффициент для определенного значения \(n\) и \(k\) вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), который представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае, выражение \((x - \frac{4}{x})^6\) является биномом с \(a = x\) и \(b = -\frac{4}{x}\), а \(n = 6\). Мы будем использовать формулу биномиальных коэффициентов для разложения этого выражение на отдельные члены.

Используя формулу биномиальных коэффициентов, мы можем вычислить каждый член в выражении \((x - \frac{4}{x})^6\):

\[\binom{6}{0}(x)^6\left(-\frac{4}{x}\right)^0 + \binom{6}{1}(x)^5\left(-\frac{4}{x}\right)^1 + \binom{6}{2}(x)^4\left(-\frac{4}{x}\right)^2 + \binom{6}{3}(x)^3\left(-\frac{4}{x}\right)^3 + \binom{6}{4}(x)^2\left(-\frac{4}{x}\right)^4 + \binom{6}{5}(x)^1\left(-\frac{4}{x}\right)^5 + \binom{6}{6}(x)^0\left(-\frac{4}{x}\right)^6\]

Теперь давайте разберем каждый член отдельно:

1. \(\binom{6}{0}(x)^6\left(-\frac{4}{x}\right)^0 = 1 \cdot (x)^6 \cdot 1 = x^6\). Здесь мы используем факт, что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

2. \(\binom{6}{1}(x)^5\left(-\frac{4}{x}\right)^1 = 6 \cdot (x)^5 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right) = -24x^4\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{1}\) (который равен 6) на \(x^5\) и на \(-\frac{4}{x}\).

3. \(\binom{6}{2}(x)^4\left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 15 \cdot (x)^4 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 240x^2\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{2}\) (который равен 15) на \(x^4\) и на \(\left(-\frac{4}{x}\right)^2\).

4. \(\binom{6}{3}(x)^3\left(-\frac{4}{x}\right)^3 = 20 \cdot (x)^3 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^3 = -320\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{3}\) (который равен 20) на \(x^3\) и на \(\left(-\frac{4}{x}\right)^3\).

5. \(\binom{6}{4}(x)^2\left(-\frac{4}{x}\right)^4 = 15 \cdot (x)^2 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^4 = 240\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{4}\) (который равен 15) на \(x^2\) и на \(\left(-\frac{4}{x}\right)^4\).

6. \(\binom{6}{5}(x)^1\left(-\frac{4}{x}\right)^5 = 6 \cdot (x)^1 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^5 = -192x^{-2}\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{5}\) (который равен 6) на \(x^1\) и на \(\left(-\frac{4}{x}\right)^5\).

7. \(\binom{6}{6}(x)^0\left(-\frac{4}{x}\right)^6 = 1 \cdot (x)^0 \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^6 = 16\). Здесь мы умножили биномиальный коэффициент \(\binom{6}{6}\) (который равен 1) на \(x^0\) и на \(\left(-\frac{4}{x}\right)^6\).

Собирая все эти члены вместе, получим окончательное разложение выражения \((x - \frac{4}{x})^6\):

\[x^6 - 24x^4 + 240x^2 - 320 + 240 - 192x^{-2} + 16\]

Таким образом, свободный член выражения \((x - \frac{4}{x})^6\) равен 16.

Я надеюсь, что это разъяснение помогло вам понять структуру и значения членов в данном выражении. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!