Подтвердите, что log4 является иррациональным числом

Сладкий_Пират_6890

2

Чтобы подтвердить, что \(\log_4\) является иррациональным числом, нам понадобится предоставить пошаговое доказательство этого факта.

Шаг 1: Допустим, что \(\log_4\) – рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) – целые числа, а \(b\) не равно нулю, и \(\frac{a}{b}\) не является сокращенной дробью.

Шаг 2: Мы знаем, что \(\log_4\) равно степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить число \(x\), которое мы хотим логарифмировать. Тогда можно записать \(\log_4 x = \frac{a}{b}\).

Шаг 3: Применим свойство логарифма \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) и перепишем выражение: \(4^{\frac{a}{b}} = x\).

Шаг 4: Возвести обе части равенства в степень \(b\) и получим \(4^a = x^b\).

Шаг 5: Заметим, что слева у нас степень числа 4, а справа у нас степень числа \(x\). Если бы \(\log_4\) было рациональным числом, то и левая часть, и правая часть были бы рациональными числами.

Шаг 6: Тем не менее, мы знаем, что \(\sqrt{2}\) является иррациональным числом, и можно представить его как \(\sqrt{2} = \frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) – целые числа, а \(\frac{m}{n}\) не является сокращенной дробью.

Шаг 7: Возведем обе части равенства в квадрат и получим \(2 = \frac{m^2}{n^2}\).

Шаг 8: После умножения обеих частей на \(n^2\) получим \(2n^2 = m^2\).

Шаг 9: Заметим, что слева у нас число 2, а справа у нас число \(m^2\). Таким образом, если \(\sqrt{2}\) иррационально, то и \(m^2\) также должно быть иррациональным.

Шаг 10: Вернемся к нашему равенству \(4^a = x^b\). Заменим \(x\) на \(\sqrt{2}\) и \(b\) на 2, и получим \(4^a = (\sqrt{2})^2\).

Шаг 11: Мы знаем, что \(\sqrt{2}\) иррационально, поэтому \((\sqrt{2})^2\) также иррационально.

Шаг 12: Таким образом, левая часть равенства \(4^a\) должна быть иррациональным числом.

Шаг 13: Однако, мы уже предположили, что \(\log_4\) – рациональное число, и поэтому можно представить его в виде \(\frac{a}{b}\), где \(\frac{a}{b}\) – рациональная дробь.

Шаг 14: Получаем противоречие: левая часть равенства должна быть иррациональной, но мы предположили, что она рациональная.

Таким образом, наше предположение о том, что \(\log_4\) - рациональное число, неверно. Значит, мы можем заключить, что \(\log_4\) является иррациональным числом.