Подтвердите, что log4 является иррациональным числом

Сладкий_Пират_6890

2

Чтобы подтвердить, что ${\log }_4$ является иррациональным числом, нам понадобится предоставить пошаговое доказательство этого факта.

Шаг 1: Допустим, что ${\log }_4$ – рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ – целые числа, а $b$ не равно нулю, и $\frac{a}{b}$ не является сокращенной дробью.

Шаг 2: Мы знаем, что ${\log }_4$ равно степени, в которую нужно возвести 4, чтобы получить число $x$, которое мы хотим логарифмировать. Тогда можно записать ${\log }_{4}x=\frac{a}{b}$.

Шаг 3: Применим свойство логарифма ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ и перепишем выражение: $4^{\frac{a}{b}}=x$.

Шаг 4: Возвести обе части равенства в степень $b$ и получим $4^a=x^b$.

Шаг 5: Заметим, что слева у нас степень числа 4, а справа у нас степень числа $x$. Если бы ${\log }_4$ было рациональным числом, то и левая часть, и правая часть были бы рациональными числами.

Шаг 6: Тем не менее, мы знаем, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, и можно представить его как $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ – целые числа, а $\frac{m}{n}$ не является сокращенной дробью.

Шаг 7: Возведем обе части равенства в квадрат и получим $2=\frac{m^2}{n^2}$.

Шаг 8: После умножения обеих частей на $n^2$ получим $2n^2=m^2$.

Шаг 9: Заметим, что слева у нас число 2, а справа у нас число $m^2$. Таким образом, если $\sqrt{2}$ иррационально, то и $m^2$ также должно быть иррациональным.

Шаг 10: Вернемся к нашему равенству $4^a=x^b$. Заменим $x$ на $\sqrt{2}$ и $b$ на 2, и получим $4^a=(\sqrt{2}{)}^2$.

Шаг 11: Мы знаем, что $\sqrt{2}$ иррационально, поэтому $(\sqrt{2}{)}^2$ также иррационально.

Шаг 12: Таким образом, левая часть равенства $4^a$ должна быть иррациональным числом.

Шаг 13: Однако, мы уже предположили, что ${\log }_4$ – рациональное число, и поэтому можно представить его в виде $\frac{a}{b}$, где $\frac{a}{b}$ – рациональная дробь.

Шаг 14: Получаем противоречие: левая часть равенства должна быть иррациональной, но мы предположили, что она рациональная.

Таким образом, наше предположение о том, что ${\log }_4$ - рациональное число, неверно. Значит, мы можем заключить, что ${\log }_4$ является иррациональным числом.