Что представляют собой наибольшее и наименьшее значения функции y=-x^3+9x^2-24x+10 на данном отрезке?

Черепашка_Ниндзя

43

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = -x^3 + 9x^2 - 24x + 10\) на данном отрезке, мы должны применить некоторые свойства функций и математические методы.

Для начала, давайте найдем критические точки этой функции. Критическая точка - это точка, где производная функции равна нулю или не существует. Эти точки могут быть экстремумами функции.

Чтобы найти критические точки, нам понадобится первая производная функции. Давайте найдем первую производную функции \(y\):
\[y" = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2 - 24x + 10)\]

Для этого нам нужно применить правила дифференцирования. После дифференцирования получим:
\[y" = -3x^2 + 18x - 24\]

Теперь, чтобы найти критические точки, мы должны приравнять \(y"\) к нулю и решить полученное уравнение:
\[-3x^2 + 18x - 24 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где уравнение задано вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) у нас: \(a = -3\), \(b = 18\), \(c = -24\).

Теперь найдем дискриминант:
\[D = 18^2 - 4(-3)(-24) = 324 - 288 = 36\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у уравнения есть два корня.

Запишем формулу для нахождения корней уравнения:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов и найдем значения корней \(x_{1,2}\):
\[x_1 = \frac{-18 + \sqrt{36}}{2(-3)} = \frac{-18 + 6}{-6} = 4\]
\[x_2 = \frac{-18 - \sqrt{36}}{2(-3)} = \frac{-18 - 6}{-6} = 6\]

Итак, мы получили две критические точки: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 6\).

Теперь найдем соответствующие значения функции \(y\) в этих точках. Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в исходное уравнение функции \(y = -x^3 + 9x^2 - 24x + 10\):

\[y_1 = -4^3 + 9(4)^2 - 24(4) + 10\]
\[y_1 = -64 + 144 - 96 + 10\]
\[y_1 = -6\]

\[y_2 = -6^3 + 9(6)^2 - 24(6) + 10\]
\[y_2 = -216 + 324 - 144 + 10\]
\[y_2 = -26\]

Итак, наибольшее значение функции равно -6, а наименьшее значение -26 на данном отрезке.