Что произойдет с частотой колебаний маятника при уменьшении его длины в 4 раза?

Золотая_Завеса

30

При уменьшении длины маятника в 4 раза произойдет увеличение его частоты колебаний в 2 раза. Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

1. Используем формулу для расчета периода колебаний маятника: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\), где \(T\) - период колебаний, \(L\) - длина маятника, \(g\) - ускорение свободного падения.

2. Предположим, что изначальная длина маятника равна \(L_1\), а его частота колебаний равна \(f_1 = \frac{1}{T_1}\).

3. После уменьшения длины маятника в 4 раза, новая длина будет равна \(L_2 = \frac{L_1}{4}\).

4. Чтобы найти новую частоту колебаний \(f_2\), подставим новую длину \(L_2\) в формулу периода колебаний: \(T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}}\).

5. Заметим, что частота колебаний \(f_2\) обратно пропорциональна периоду \(T_2\), то есть \(f_2 = \frac{1}{T_2}\).

6. Рассчитаем новую частоту колебаний \(f_2\) путем замены \(T_2\) в формуле: \(f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_2}{g}}}\).

7. Подставим значение новой длины \(L_2 = \frac{L_1}{4}\) в формулу для \(f_2\): \(f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1/4}{g}}}\).

8. Упростим выражение: \(f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{4g}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{2\cdot2\cdot g}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{2g}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}\cdot2}}\).

9. Обратим внимание, что в выражении \(\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}\cdot2}}\) множитель \(\frac{L_1}{g}\) является отношением длины маятника и ускорения свободного падения и остается постоянным.

10. Таким образом, новая частота колебаний \(f_2\) будет равна величине обратной удвоенному предыдущему периоду колебаний \(f_1\), т.е. \(f_2 = 2f_1\).

Итак, при уменьшении длины маятника в 4 раза его частота колебаний увеличивается в 2 раза. Это можно объяснить тем, что укорочение маятника повышает его скорость, что ведет к увеличению частоты колебаний.